- 数列
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已知数列{an}的通项公式为
正确答案
90
解析
解：∵an=3n2+15，
∴a5=3×25+15=90．
故答案为：90．
已知数列an的通项公式an=
正确答案
解：∵f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an），
根据其结构特点可得：
解析
解：∵f（n）=（1-a1）（1-a2）…（1-an），
根据其结构特点可得：
传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过1，3，6，10，…，可以用如图的三角形点阵表示，那么第10个点阵表示的数是______．
正确答案
55
解析
解：设此数列1，3，6，10，…的通项公式为an，
则a2-a1=3-1=2，a3-a2=6-3=3，a4-a3=10-6=4，…．
∴数列{an+1-an}是等差数列，首项为2，公差为1．
∴an+1-an=2+（n-1）=n+1，
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=n+（n-1）+…+1
=
∴
故答案为：55．
求下列各数列的一个通项公式：
（1）
（2）-
（3）1，0，
正确答案
解：（1）
∵a1=
∴归纳得出：an=
（2）-
∵a
∴归纳得出：an=（-1）n
（3）1，0，
∵观察得出偶数项都为0，
奇数项，是序号的倒数
∴an=
解析
解：（1）
∵a1=
∴归纳得出：an=
（2）-
∵a
∴归纳得出：an=（-1）n
（3）1，0，
∵观察得出偶数项都为0，
奇数项，是序号的倒数
∴an=
数列{an}的通项为an=1+（-e）-n（其中e为自然对数的底数），则该数列各项取值最大、最小两项值的和为______．
正确答案
解析
∴an=
画出函数图象，如图所示，
则该数列各项的最大值是a2=1+
最小值是a1=1-
∴a2+a1=（1+
故答案为：2-
已知点列T：P1（x1，y1），P2（x2，y2），…Pk（xk，yk） （k∈N*，k≥2）满足P1（1，1），
（1）写出满足k=4的所有点列；
（2）证明：对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
（3）当k=2n-1且P2n-1（n，n）（n∈N*，n≥2）时，求
正确答案
解：（1）符合条件的点列T为：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（3，1），P4（3，2）；
（2）证明：由已知xi+yi=xi-1+yi-1+1，则数列{xi+yi}是公差为1的等差数列，
由x1+y1=2，可得xi+yi=i+1（i=1，2，…，k），
若存在点列T，使得
由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k≥2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，
故对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
（3）由已知yi=i+1-xi（i=1，2，…，2n-1），
=（x1+x2+…+x2n-1）（（2+3+…+2n）-（x1+x2+…+x2n-1）），
令t=x1+x2+…+x2n-1，则
考虑f（t）=t[（n+1）（2n-1）-t]，
①当n为奇数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，n，…，n．
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
=
所以t=
②当n为偶数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
所以t=
解析
解：（1）符合条件的点列T为：P1（1，1），P2（1，2），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（2，2），P4（3，2），
或P1（1，1），P2（2，1），P3（3，1），P4（3，2）；
（2）证明：由已知xi+yi=xi-1+yi-1+1，则数列{xi+yi}是公差为1的等差数列，
由x1+y1=2，可得xi+yi=i+1（i=1，2，…，k），
若存在点列T，使得
由k和k+3一个为奇数，一个为偶数，且k≥2，而整数2k+1不含大于1的奇因子，
故对于任意给定的k（k∈N*，k≥2），不存在点列T，使得
（3）由已知yi=i+1-xi（i=1，2，…，2n-1），
=（x1+x2+…+x2n-1）（（2+3+…+2n）-（x1+x2+…+x2n-1）），
令t=x1+x2+…+x2n-1，则
考虑f（t）=t[（n+1）（2n-1）-t]，
①当n为奇数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，n，…，n．
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
=
所以t=
②当n为偶数时，可得
构造数列{xi}：1，2，…，
对应数列{yi}：1，1，…，1，2，…，
而此时x1+x2+…+x2n-1，=1+2+…+n+
所以t=
已知数列的通项公式an=-2n2+16n+5，其中最大的一项是第（ ）项．
正确答案
解析
解：an=-2n2+16n+5=-2（n-4）2+37，
因此其中最大的一项是第4项．
故选：B．
（1）此数表中的第6行第3列的数为______；
（2）数列{bn}的通项公式为______．
正确答案
20
bn=2n-1+n+1
解析
解：（1）根据题意，得
a4，2=3+4=7，a5，2=4+5=9，a6，2=5+6=11
∵ai+1，j+1=ai，j+ai+1，j，
∴第6行第3列的数a6，3=a5，2+a6，2=9+11=20
（2）将3，5，8，13，22，39，…，bn，
各项依次减去2，3，4，5，6，7，…，n+1，
得1，2，4，8，16，32，…，2n-1，
∴bn-（n+1）=2n-1，得bn=2n-1+n+1，即为数列{bn}的通项公式
故答案为：20，bn=2n-1+n+1
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+1（n∈N*），则an=______．
正确答案
解：∵数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，Sn-1=（n-1）2+2（n-1）+1，
∴an=Sn-Sn-1
=（n2+2n+1）-[（n-1）2+2（n-1）+1]
=2n+1；
当n=1时，a1=S1=4；
∴an=
故答案为：
解析
解：∵数列{an}的前n项和为Sn=n2+2n+1（n∈N*），
∴当n≥2时，Sn-1=（n-1）2+2（n-1）+1，
∴an=Sn-Sn-1
=（n2+2n+1）-[（n-1）2+2（n-1）+1]
=2n+1；
当n=1时，a1=S1=4；
∴an=
故答案为：
已知无穷数列{an}的通项公式为an=
正确答案
（42.25，56.25）
解析
解：∵λ＞0，∴an=
当且仅当n=
∵对于任意的正整数n，都有an≤a7恒成立，
∴6.5＜
解得：42.25＜λ＜56.25，
故答案为：（42.25，56.25）．
正确答案
解析
解：过Pn点作PnH⊥x轴，垂足为H，
∵△Qn-1PnQn为等腰直角三角形，且Pn为直角顶点，
∴
∴Pn点的纵坐标为
∵△Qn-1PnQn为等腰直角三角形，且Pn为直角顶点，
∴H点为线段Qn-1Qn的中点，
∴H点横坐标为
∵PnH⊥x轴，∴Pn点的横坐标也为
∵Pn点为函数
∴
∴
∴xn2-xn-12=4∴xn2=x12+4（n-1）=4n
∴
故答案为
数列{an}中，an=2000•（
正确答案
10
解析
解：假设数列{an}中，an=2000•（
则an＞1，an+1≤1，
即
可得1000≤2n＜2000，
解得n=10．
故答案为：10．
已知函数f（x）=
A（-4，-3）
B[-4，-3）
C[-
D（-
正确答案
解析
解：x＞3时，f（x）=
∵{an}单调递减，
∴
故选：A．
已知数列{an}中，an=（
正确答案
解：设t=（
由t=（
当t=1时，n=1，数列{an}的最大项为0，即a1=0．
当t=
当n=2时，t=
当n=3时，t=
当n=4时，t=
∵（0
∴只有比较t=
∵
∴当n=3时，t=
解析
解：设t=（
由t=（
当t=1时，n=1，数列{an}的最大项为0，即a1=0．
当t=
当n=2时，t=
当n=3时，t=
当n=4时，t=
∵（0
∴只有比较t=
∵
∴当n=3时，t=
数列{an}的通项公式有：①an=3；②an=2n2；③an=4n-3．其中数列{an}为等差数列的通项公式是______（把所有符合题意的序号都填上）．
正确答案
①③
解析
解：对于①，an=3；该数列为常数列，故为等差数列；
对于②，an=2n2：
a1=2，a2=8，a3=18，
∵2a2≠a1+a3，
∴不是等差数列；
对于③，an=4n-3．
∵an+1-an=4（n+1）-3-（4n-3）=3
∴③an=4n-3是等差数列，
故答案为：①③．
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