- 数列
- 共33563题
四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上（如图），第l次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是（ ）
正确答案
解析
解：由图得，小兔原来的座位编号为a0=3，
设每次变换后的小兔座位编号为an，
则a1=1，a2=2，a3=4，依此类推得a4=3，a5=1，a6=2，…，
∴此数列的项周期性出现，且周期是4，即an+4=an，
∴a2011=a4×502+3=a3=4，
故选D．
已知函数y=f（x）满足f（2x）=2x+1+1，定义数列{an}，a1=1，an+1=f（an）-1，求数列{an}的通项公式．
正确答案
解：由函数y=f（x）满足f（2x）=2x+1+1，∴f（t）=2t+1．
∵数列{an}，a1=1，an+1=f（an）-1，
∴an+1=2an+1-1，即an+1=2an．
∴数列{an}是公比为2的等比数列．
∴
∴数列{an}的通项公式
解析
解：由函数y=f（x）满足f（2x）=2x+1+1，∴f（t）=2t+1．
∵数列{an}，a1=1，an+1=f（an）-1，
∴an+1=2an+1-1，即an+1=2an．
∴数列{an}是公比为2的等比数列．
∴
∴数列{an}的通项公式
已知数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意n∈N*，点Pn（n，Sn）都在函数y=2x+1图象上，则数列{an}（ ）
正确答案
解析
解：∵点Pn（n，Sn）都在函数y=2x+1图象上，
∴
当n=1时，a1=S1=3．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1．
∴
∴数列{an}既不是等差数列也不是等比数列．
故选：D．
已知数列{an} 满足{an}=
A（0，
B（0，
C（
D（
正确答案
解析
解：∵对于任意的n∈N*都有an＞an+1，∴数列{an}单调递减，可知0＜a＜1．
①当
∴
②当
综上可知：实数a的取值范围是
故选D．
已知数列{an}的通项公式为an=
正确答案
证明：∵an=
而y=
∴数列{an}为递增数列．
解析
证明：∵an=
而y=
∴数列{an}为递增数列．
设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（ ）
正确答案
解析
解：由等差数列的求和公式和性质可得S2014
=
∴a1007+a1008＞0
同理由S2015＜0可得2015a1008＜0，可得a1008＜0，
∴a1007＞0，a1008＜0，且|a1007|＞|a1008|
∵对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，
∴k的值为1008
故选：C．
（2015秋•湖北校级月考）函数f（x）由以下表定义
若a0=5，an+1=f（an）（n∈N），则a2016的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵a0=5，an+1=f（an）（n∈N），及其表格可得：a1=f（a0）=f（5）=2，a2=1，a3=4，a4=5，…，
可得：an+4=an，
则a2016=a504×4=a0=5．
故选：D．
已知函数
（1）若对于n∈N*，均有an+1=an成立，求实数a的值；
（2）若对于n∈N*，均有an+1＞an成立，求实数a的取值范围；
（3）请你构造一个无穷数列{bn}，使其满足下列两个条件，并加以证明：①bn＜bn+1，n∈N*；②当a为{bn}中的任意一项时，{an}中必有某一项的值为1．
正确答案
解：（1）由题意得an+1=an=a，
又知an+1=f（an）=5-
∴
（2）设an+1＞an，即
∴要使a2＞a1成立，则a1＜0或2＜a1＜3
①当a1＜0时，
而
即a3＜a2，不满足题意．
②当2＜a1＜3时，
an∈（2，3），
此时，
∴an+1＞an，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）构造数列{bn}：
下面证明满足要求．
此时
那么
由
可得
因为
所以bn＜bn+1
又bn＜2≠5，所以数列{bn}是无穷数列，
因此构造的数列{bn}符合题意．
解析
解：（1）由题意得an+1=an=a，
又知an+1=f（an）=5-
∴
（2）设an+1＞an，即
∴要使a2＞a1成立，则a1＜0或2＜a1＜3
①当a1＜0时，
而
即a3＜a2，不满足题意．
②当2＜a1＜3时，
an∈（2，3），
此时，
∴an+1＞an，满足题意．
综上，a∈（2，3）
（3）构造数列{bn}：
下面证明满足要求．
此时
那么
由
可得
因为
所以bn＜bn+1
又bn＜2≠5，所以数列{bn}是无穷数列，
因此构造的数列{bn}符合题意．
数列{an}的前n项为Sn=n2+2n，则此数列的通项公式为______．
正确答案
an=2n+1
解析
解：∵数列{an}的前n项为Sn=n2+2n，
∴当n=1时，S1=3，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-（n-1）2-2（n-1）=2n+1，n≥2，
n=1，符合题意
∴此数列的通项公式为an=2n+1，
已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4
（1）数列中有多少项是负数？
（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．
正确答案
解：（1）由n2-5n+4＜0，得1＜n＜4，
故数列中有两项为负数；
（2）an=n2-5n+4=
因此当n=2或3时，an有最小值，最小值为-2．
解析
解：（1）由n2-5n+4＜0，得1＜n＜4，
故数列中有两项为负数；
（2）an=n2-5n+4=
因此当n=2或3时，an有最小值，最小值为-2．
平面上有n个圆，这n个圆两两相交，且每3个圆不交于同一点，设这n个圆把平面分成f（n）区域，则f（3）=______；f（n）=______．
正确答案
8
n2-n+2
解析
解：∵一个圆分2区域，2个圆分2+1×2，三个圆分2+1×2+2×2，
∴f（3）=8
依此类推：n个圆分2+1×2+2×2+…+（n-1）×2
=n（n-1）+2=f（n）个区域．
故答案为：8，n2-n+2．
已知Sn为数列{an}的前n项的和，满足Sn=
（1）求通项an；
（2）若t=-
正确答案
解：（1）当n=1时，a1=t≠0，
由已知可得：
（1-t）Sn+1=t-tan+1，
（1-t）Sn=t-tan，
∴
∴数列{an}为等比数列，∴an=tn．
（2）bn=（n+2）•an•ln|an|=（n+2）
当n为偶数时，bn＜0，
∴{bn}不存在最大项；当n为奇数时，bn＞0，设{bn}最大项为bm．
则
∴m=14．
∴数列{bn}的最大项为第13项．
解析
解：（1）当n=1时，a1=t≠0，
由已知可得：
（1-t）Sn+1=t-tan+1，
（1-t）Sn=t-tan，
∴
∴数列{an}为等比数列，∴an=tn．
（2）bn=（n+2）•an•ln|an|=（n+2）
当n为偶数时，bn＜0，
∴{bn}不存在最大项；当n为奇数时，bn＞0，设{bn}最大项为bm．
则
∴m=14．
∴数列{bn}的最大项为第13项．
an=
正确答案
解析
解：变形可得an=
∵函数f（x）=1-
且44＜
结合函数的图象（双曲线）可得数列{an}的最小值为a45，
故选：C
等差数列{an}中，
A（
B（-∞，
C[
D（
正确答案
解析
解：∵数列{an}是等差数列，首项
∴{an}的通项公式为an=
∵从第10项开始大于1，
∴数列{an}是单调递增的数列，满足
解之得
故选：D
（2015春•兰州期中）给定数列，1，2+3+4，5+6+7+8+9，10+11+12+13+14+15+16，…则这个数列的通项公式是（ ）
正确答案
解析
解：由数列知，第n项的共有2n-1项，且第n项的最后一个数为1+3+5+…+（2n-1）=
∴数列的通项公式an=（1+2+3+…+n2）-[1+2+3+…+（n-1）2]=（n-1）2+1+（n-1）2+2+…+（n-1）2+（2n-1）
=（n-1）2×（2n-1）+
故选：C．
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