- 数列
- 共33563题
已知f（x）=
正确答案
[2，3）
解析
解：∵{an}是递增数列，
∴
解得2≤a＜3，
∴a的取值范围为[2，3）．
故答案为：[2，3）．
在数列{an}中，an=（n-7）（
正确答案
解：当n≤7时，an≤0；当n≥8时，an＞0．
当n≥8时，
当n=8时，
∴数列{an}的最大项是a8或a9，且a8=a9=
解析
解：当n≤7时，an≤0；当n≥8时，an＞0．
当n≥8时，
当n=8时，
∴数列{an}的最大项是a8或a9，且a8=a9=
正确答案
1
解析
解：因为BP0=4，根据题意，CP0=10-4=6，
第一步从P0到P1，CP1=CP0=6；AP1=9-6=3，
第二步从P1到P2，AP2=AP1=3；BP2=8-3=5，
第三步从P2到P3，BP3=BP2=5；CP3=10-5=5，
第四步从P3到P4，CP4=CP3=5；AP4=9-5=4，
第五步从P4到P5，AP5=AP4=4；BP5=8-4=4，
第六步从P5到P6，BP6=BP5=4；
由此可知，P6点与P0点重合，又因为2010=6×335，所以P2010点与P0点重合，
因为2007=6×334+3，所以P2007点与P3重合，
那么点P2007与P2010间的距离即P3与P0的距离，即P0P3=BC-BP0-CP3=10-4-5=1
则点P2008与A点之间的距离为AP4=1．
故答案填：1．
已知正整数列{an}单调递增，即ai＜ai+1（i∈N*），a1=1，且n∈N*时，an+1≤2n，证明：对每个n∈N*，在数列中总有两个项ap和aq使得ap-aq=n．
正确答案
证明：：设数列{an}共有n+1项，ap和aq为其中两项，设q＞p，则aq＞ap．
由题意可得：p≤ap≤3n-p+1，q≤aq≤3n-q+1，
∴0＜aq-ap≤3n-（p+q）+1，
∵p，q∈[1，n+1]，
故总能找到p+q≤2n+1，使得aq-ap=n成立．
解析
证明：：设数列{an}共有n+1项，ap和aq为其中两项，设q＞p，则aq＞ap．
由题意可得：p≤ap≤3n-p+1，q≤aq≤3n-q+1，
∴0＜aq-ap≤3n-（p+q）+1，
∵p，q∈[1，n+1]，
故总能找到p+q≤2n+1，使得aq-ap=n成立．
已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则a4=（ ）
正确答案
解析
解：∵数列{an}的前n项和Sn=n3，
∴a4=S4-S3=43-33=37．
故选：A．
已知函数f（x）=
正确答案
解析
解：∵{an}是单调递增数列，
∴
解得7≤a＜8．
故选：A．
设数列an=n2+λn（n∈N*），且满足a1＜a2＜a3＜…＜an＜k，则实数λ的取值范围是______．
正确答案
λ＞-3
解析
解：∵an=n2+λn①∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）②
②-①得an+1-an=2n+1+λ．由已知，数列{an}为单调递增数列，则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，易知当n=1时，-（2n+1）的最大值 为-3，所以λ＞-3
故答案为：λ＞-3．
已知数列满足：a1=1，an+1=
正确答案
λ＜3
解析
解：∵a1=1，an+1=
两边取倒数可得：
∴数列
∴
∴bn+1=（n-λ）（
又b1=-6，且递增数列，
∴b2=（2-λ）•2＞b1=-6，n≥2时，bn+1＞bn．
化为
∴实数λ的取值范围为λ＜3．
故答案为：λ＜3．
已知数列{an}满足
A
B2
C
D
正确答案
解析
解：对任意正整数n，都有an≥ak（k∈N*），则ak为数列{an}中的最小项．
由指数函数与幂函数的增长速度及a1=2，a2=1，a3=
∴对∀n∈N*，有an≥a3=
故选D．
已知各项均为正数的数列{an}满足an+1=sinan（n∈N*），则下列的说法中，正确的是（ ）
正确答案
解析
解：先构造函数f（x）=x-sinx，x∈[0，+∞），
f‘（x）=1-cosx≥0对任意x∈[0，+∞）恒成立，
所以，f（x）单调递增，且f（0）=0，
因此，当x≥0时，f（x）≥0，
所以，sinx≤x对任意x∈[0，+∞）恒成立，仅当x=0时，取“=”．
根据题意，数列{an}的各项均为正数，
所以，an+1=sinan＜an，
即an+1＜an恒成立，所以数列{an}单调递减，
故答案为：A．
下列四个数列中，是递增数列的是（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：A．an=
B.
C．an=
可得a1=-1，a2=0，a3=
D．利用正弦函数的单调性可知：
故选：C．
已知数列an=8+
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵数列an=8+
∴若其最大项为n项，则
即
∵n∈N，
∴n=5，a5=
n→+∞时，an→8，
∵a1=
∴最小项为
∴m+M的值为
故选：D
（1）求|AnAn+1|（用含字母的式子表示）；
（2）求点An、Bn的坐标（用含n的式子表示）；
（3）设四边形AnBnBn+1An+1面积为Sn，问{Sn}中是否存在不同的三项S1，Sn，Sk（1＜n＜k，n、k∈N）恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，若不存在，请说明理由．
正确答案
解：（1）|An-1An|=3|AnAn+1|，且|A1A2|=10-1=9，
∴|AnAn+1|=|A1A2|
（2）由（1）的结论可得
|A1A2|+|A2A3|+…+|An-1An|=9+3+1+…+
∴An的坐标（0，
∵|OBn|-|OBn-1|=2
∴{|OBn|}是以3
∴|OBn|=3
∴Bn的坐标为（2n+1，2n+1）．
（3）连接AnBn+1，设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn，
则Sn=S
由S1，Sn，Sk（1＜n＜k，n，k∈N）成等差数列，
∴2（
即k=2•3k（
∵
∴{
当n≥3时，
当n=2时，得k=3k-2，易知k=3是唯一解，
∴S1，S2，S3成等差数列．
即当n≥3时，{Sn}中不存在S1，Sn，Sk三项成等差数列．
综上所述，在数列{Sn}中，有且仅有S1，S2，S3成等差数列．
解析
解：（1）|An-1An|=3|AnAn+1|，且|A1A2|=10-1=9，
∴|AnAn+1|=|A1A2|
（2）由（1）的结论可得
|A1A2|+|A2A3|+…+|An-1An|=9+3+1+…+
∴An的坐标（0，
∵|OBn|-|OBn-1|=2
∴{|OBn|}是以3
∴|OBn|=3
∴Bn的坐标为（2n+1，2n+1）．
（3）连接AnBn+1，设四边形AnBnBn+1An+1的面积为Sn，
则Sn=S
由S1，Sn，Sk（1＜n＜k，n，k∈N）成等差数列，
∴2（
即k=2•3k（
∵
∴{
当n≥3时，
当n=2时，得k=3k-2，易知k=3是唯一解，
∴S1，S2，S3成等差数列．
即当n≥3时，{Sn}中不存在S1，Sn，Sk三项成等差数列．
综上所述，在数列{Sn}中，有且仅有S1，S2，S3成等差数列．
已知数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在函数y=2x2+x的图象上，则数列{an}的通项公式为______．
正确答案
an=4n-1
解析
解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且点（n，Sn）在函数y=2x2+x的图象上，
∴Sn=2n2+n，
∴Sn-1=2（n-1）2+（n-1），n≥2；
∴an=（2n2+n）-[2（n-1）2+（n-1）]=4n-1，
当n=1时，a1=s1=2+1=3，满足an=4n-1；
∴数列{an}的通项公式为an=4n-1，n∈N*．
故答案为：an=4n-1．
在数列{an}中，a1=1，an+1=
（1）写出它的前五项，并归纳出通项公式；
（2）判断它的单调性．
正确答案
解：（1）∵a1=1，an+1=
∴
…，
可得：
（2）由（1）可得：
∴
∴an+1＜an．
∴数列{an}单调递减．
解析
解：（1）∵a1=1，an+1=
∴
…，
可得：
（2）由（1）可得：
∴
∴an+1＜an．
∴数列{an}单调递减．
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