热门试卷

（1）由题意得an+1=an=a，∴a=，得a=2或a=3，符合题意

（2）设an+1＞an，即＞an，解得an＜0或2＜an＜3

∴要使a2＞a1成立，则a1＜0或2＜a1＜3

①当a1＜0时，

a2==5-＞5，

而a3-a2=-a2=＜0，

即a3＜a2，不满足题意．

②当2＜a1＜3时，

a2=5-∈(2，3)，a3=5-∈(2，3)，

an∈（2，3），

此时，an+1-an=-an=＞0，

∴an+1＞an，满足题意．

综上，a∈（2，3）

（3）构造数列{bn}：b1=，bn+1=，

下面证明满足要求．

此时bn=5-，不妨设a取bn，

那么a2=5-=5-=bn-1，a3=5-=5-=bn-2，

an=5-=5-=b1=，an+1=5-=5-=1.

由b1=＜2，

可得bn+1=＜2

因为bn+1-bn=-bn=＞0，

所以bn＜bn+1

又bn＜2≠5，所以数列{bn}是无穷数列，

因此构造的数列{bn}符合题意．

解（1）由题设得，=-n+12，

即Sn=n（-n+12）=-n2+12n．

（2）当n=1时，an=a1=S1=11；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-n2+12n）-（-（n-1）2+12（n-1））=-2n+13；

由于此时-2×1+13=11=a1，

从而数列{an}的通项公式是an=-2n+13．

故数列{an}是等差数列．

解（1）由题设得，=-n+12，

即Sn=n（-n+12）=-n2+12n．

（2）当n=1时，an=a1=S1=11；

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-n2+12n）-（-（n-1）2+12（n-1））=-2n+13；

由于此时-2×1+13=11=a1，

从而数列{an}的通项公式是an=-2n+13．

故数列{an}是等差数列．

（1）Sn＝2n+2＋n2＋3n－4（2）①an＝4n＋4，bn＝2，②不存在

试题分析：（1）条件“a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋anbn”实质为数列前n项的和，所以按已知求方法进行化简.∵a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋anbn＝n·2n+3∴a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋an－1bn－1＝(n－1)·2n+2 (n≥2) 两式相减得：anbn＝n·2n+3－(n－1)·2n+2＝(n＋1)·2n+2 (n≥2) 而当n＝1时，a1b1＝24适合上式，∴anbn＝(n＋1)·2n+2 (n∈N*)∵{bn}是首项为4、公比为2的等比数列 ∴bn＝2n+1∴an＝2n＋2，∴{an＋bn}的前n项和Sn＝＋＝2n+2＋n2＋3n－4（2）①由（1）有anbn＝(n＋1)·2n+2，设an＝kn＋b，则bn＝∴bn－1＝ (n≥2) 设{bn}的公比为q，则＝＝q对任意的n≥2恒成立，即k(2－q)n2＋b(2－q)n＋2(b－k)＝0对任意的n≥2恒成立，∴又∵a1＝8，∴k＋b＝8∴k＝b＝4，∴an＝4n＋4，bn＝2n②存在性问题，一般从假设存在出发，有解就存在，无解就不存在.本题从范围角度说明解不存在.

解：（1）∵a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋anbn＝n·2n+3

∴a1b1＋a2b2＋a3b3＋···＋an－1bn－1＝(n－1)·2n+2 (n≥2)

两式相减得：anbn＝n·2n+3－(n－1)·2n+2＝(n＋1)·2n+2 (n≥2)

而当n＝1时，a1b1＝24适合上式，∴anbn＝(n＋1)·2n+2 (n∈N*)

∵{bn}是首项为4、公比为2的等比数列 ∴bn＝2n+1

∴an＝2n＋2，∴{an＋bn}的前n项和Sn＝＋＝2n+2＋n2＋3n－4

（2）①设an＝kn＋b，则bn＝，∴bn－1＝ (n≥2)

设{bn}的公比为q，则＝＝q对任意的n≥2恒成立，

即k(2－q)n2＋b(2－q)n＋2(b－k)＝0对任意的n≥2恒成立，

∴ ∴ 又∵a1＝8，∴k＋b＝8∴k＝b＝4，∴an＝4n＋4，bn＝2n

②假设数列{bn}中第k项可以表示为该数列中其它r项的和，即，从而，易知k≥tr＋1 

∴k＜tr＋1，此与k≥tr＋1矛盾，从而这样的项不存在．求,等差数列与等比数列基本性质

（1），；（2）；（3）.

试题分析：（1）分别令和代入题干中的等式求出和的值；（2）利用定义法进行求解，在原式中利用替换得到，将此等式与原式作差得到

，再次利用定义法得到数列为等差数列，最后利用等差数列的通项公式进行求解；（3）利用化简得到，对进行分奇偶讨论求出的取值范围.

试题解析：（1）令，则，即，所以或或，

又因为数列的各项都是正数，所以，

令，则，即，解得或或，

又因为数列的各项都是正数，所以，

（2），          ①

， ②

由①②得，

化简得到， ③

，④

由③④得，

化简得到，即，

当时，，所以，

所以数列是一个以为首项，为公差的等差数列，

；

（3），

因为对任意的，都有恒成立，即有，

化简得，

当为奇数时，恒成立，，即，

当为偶数时，恒成立，，即，

，故实数的取值范围是.

由（1）数列{an}是周期为3的数列，

得an+3=an，且⇒（λ+1）（an+2-an+1）=0，即λ=-1．

（2）当n=1时，s1=a1，4s1=（a1+1）2⇒a1=1，

当n≥2时，4an=4sn-4sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2．⇒（an-1）2=（an-1+1）2，即an-an-1=2或an=-an-1（n≥2）．

①由an＞0有an-an-1=2（n≥2），则{an}为等差数列，即an=2n-1，

由于对任意的n都有an+m≠an，所以数列{an}不是周期数列．

②由anan+1＜0有an=-an-1（n≥2），数列{an}为等比数列，即an=（-1）n-1，

即an+2=an对任意n都成立．

即当anan+1＜0时是{an}周期为2的周期数列．

（3）假设存在p，q．满足题设．

于是⇒an+3=an，又bn=an+1则bn+3=bn，

所以{bn}是周期为3的周期数列，所以{bn}的前3项分别为2，3，-2．

则sn=，

当n=3k时，=1；

当n=3k-2时，=1+⇒1＜≤2；

当n=3k-1时，=1+⇒1＜≤，

综上1≤≤，

为使p≤≤q恒成立，只要p≤1，q≥即可．

综上，存在p≤1，q≥满足题设．

（1）依题意，n＞3时，

Sn=an+1，Sn-1=an-1+1，

两式相减得：

Sn-Sn-1=an-an-1…（1分），

∴an=an-an-1⇒an=an-1…（2分）

所以an=an-1=×an-2=××…×a3=a3（3分）

n=3时，S3=a3+1，a1+a2+a3=a3+1，

解得a3=4…（4分）

所以n＞3时，an=2（n-1）…（5分），

而且2（3-1）=4=a3，2（2-1）=2=a2，2（1-1）=0≠a1…（6分），

所以an=，n＞1…（7分）

（2）依题意，（S1-34）a1=-33，（S2-34）a2=-62

n＞2时，（Sn-34）an=2n3-4n2-64n+66…（8分），

作函数f（x）=2x3-4x2-64x+66，x＞2…（9分）

f′（x）=6x2-8x-64=2（3x+8）（x-4）…（10分），

解得x=4…（11分）

当2＜x＜4时，f′（x）＜0；当x＞4时，f′（x）＞0…（12分）．

所以，f（x）在x=4取得最小值f（4）=-126…（13分），

因为f（4）＜-33且f（4）＜-62，

所以，数列{（Sn-34）an}（n∈N+）最小的项是（S4-34）a4=-126…（14分）．

（1）；（2）时，数列、可以为（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，时，数列对（，）不存在.（3）证明见解析．

试题分析：（1）这实质是已知数列的前项和，要求通项公式的问题，利用关系来解决；（2）时，可求出，再利用

=，可找到数列对（，）（注意结果不唯一），当时，由于，即，可以想象，若存在，则应该很大（体现在），研究发现（具体证明可利用二项展开式，

，注意到，展开式中至少有7项，故，下面证明这个式子大于，应该很好证明了），这不符合题意，故不存在；（3）可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的，即对于数列对（，），构造新数列对，（），则数列对（，）也满足题意，（要说明的是及=且数列与，与不相同（用反证法，若相同，则，又，则有均为奇数，矛盾）．

试题解析：（1）时，

时，，不适合该式

故，                       4分

（2），

时，

                6分

当时，，，，

=

数列、可以为（不唯一）：

6,12,16,14；2,8,10,4    ②  16,10,8,14；12,6,2,4           8分

当时，

此时不存在.故数列对（，）不存在.                10分

另证：

当时，

（3）令，（）        12分

又=，得

=

所以，数列对（，）与（，）成对出现。         16分

假设数列与相同，则由及，得，，均为奇数，矛盾！

故，符合条件的数列对（，）有偶数对。               18分项和与的关系；（2）观察法，二项展开式证明不等式；（3）构造法．

（1）解法1：∵fn′(x)=nxn-1(1-x)2-2xn(1-x)=xn-1(1-x)[n(1-x)-2x]-------（1分）

当n=1时，f1'（x）=（1-x）（1-3x）

当x∈[，1]时，f1'（x）≤0，即函数f1（x）在[，1]上单调递减，

∴a1=f1()=，--------------------------------------------------（3分）

当n=2时，f2'（x）=2x（1-x）（1-2x）

当x∈[，1]时，f2'（x）≤0，即函数f2（x）在[，1]上单调递减，

∴a2=f2()=---------------------------------------------------（5分）

【解法2：当n=1时，f1(x)=x(1-x)2，则f1′(x)=(1-x)2-2x(1-x)=(1-x)(1-3x)

当x∈[，1]时，f1'（x）≤0，即函数f1（x）在[，1]上单调递减，∴a1=f1()=，

当n=2时，f2(x)=x2(1-x)2，则f2′(x)=2x(1-x)2-2x2(1-x)=2x（1-x）（1-2x）

当x∈[，1]时，f2'（x）≤0，即函数f2（x）在[，1]上单调递减，∴a2=f2()=】

（2）令fn'（x）=0得x=1或x=，

∵当n≥3时，∈[，1]且当x∈[，)时fn'（x）＞0，

当x∈(，1]时fn'（x）＜0，-----------------（7分）

故fn（x）在x=处取得最大值，

即当n≥3时，an=fn()=()n()2=，-------（9分）

当n=2时（*）仍然成立，

综上得an=-------------------------------------（10分）

（3）当n≥2时，要证≤，只需证明(1+)n≥4，-------------------（11分）

∵(1+)n=+()+…+()n≥1+2+•≥1+2+1=4

∴对任意n∈N*（n≥2），都有an≤成立．-----------------（14分）

（1）由题意可得，数列{an}的前8项分别为：111，112，113，114，121，122，123，124，

故这个数列的第8项为124．（3分）

（2）这个数列的项数就是用1、2、3、4排成的三位数，每个位上都有4种排法，

根据分步计数原理，共有4×4×4=64项．（6分）

（3）比an=341小的数有两类：①百位上是1或2的，共有2×4×4=32（个）；

②百位上是3且十位上是1或2或3的，共有1×3×4=12（个）．

再根据分类计数原理可得，比an=341小的数有 32+12=44 （个）．

∴所求的n=44+1=45．（10分）

（1）an+1=，两边取倒数，

可变形为：-=，

把n=1及a1=3代入，即可求出a2=，

把n=2及a2的值代入，即可求出a3=1，

依次得到：a4=，a5=．

（2）从上面的式子中归纳猜想数列的通项公式为：an=，n∈N*．

（Ⅰ）；（Ⅱ）2006年最多出口12.3吨.

试题分析：（Ⅰ）每年的出口量以为首项，为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式可得.

（Ⅱ）等比数列的前项和为，由可解.

试题解析：（Ⅰ）由题意知每年的出口量构成等比数列，且首项，公比，.

（Ⅱ）10年出口总量，，

，即，.

答：2006年最多出口12.3吨.，2、等比数列的前项和为.