- 数列
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已知数列{an}的首项a1＞0，an+1=
（Ⅰ）若a1=
（Ⅱ）若a1=
（Ⅲ）若an+1＞an对一切n∈N+都成立，求a1的取值范围．
正确答案
（Ⅰ）∵a1=
（Ⅱ）证明：由题意知an＞0，
∴
∵
所以数列{
∴
∴an=
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
由a1＞0，an+1=
即(
又a1＞0，则0＜a1＜1…（14分）
一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是＿＿＿＿。
正确答案
已知数列{an}满足a1=1，an=3n-1+an-1（n≥2）．
（Ⅰ）求a2，a3；
（Ⅱ）证明an=
正确答案
（I）∵a1=1，
∴a2=3+1=4，
∴a3=32+4=13；
（II）证明：由已知an-an-1=3n-1，n≥2
故an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1
=3n-1+3n-2+…+3+1=
当n=1时，也满足上式．
所以an=
已知两数列{an}，{bn}（其中bn＞0，且bn≠1），满足a1=2，b1=
（I）求证：an＞bn
（II）求证：数列{an}的单调递减且an+1＜1+
正确答案
证明：（I）先证bn＞1．∵bn＞0，bn≠1，∴bn+1=
再证an＞bn．①a1=2，b1=
②假设m=k时命题成立，即ak＞bk＞1，
则ak+1-bk+1=
∴ak+1＞bk+1
所以n+k+1时命题也成立．
综合①②可得ak＞bk．
（II）an+1-an=
∵bn＜an，∴
故数列{an}单调递减．
∵an+1=
∴an+1-1＜
又a1-1=1，∴an+1-1＜
即an+1＜1+
数列{an}中，an=
正确答案
an=
考察函数f（x）=1+
因为44＜
故数列{an}在n≤44上递减，在n≥45时递减，借助f（x）=1+
数列{an}的最大值为a45，最小值为a44
故答案为a45，a44
已知数列{an}的通项公式是an=2+
正确答案
an=2+
又n∈N*，∴n=13时an最小，
故答案为：13．
等差数列{an}中，Sn是前n项和，且S3=S8，S7=Sk（k≠7），则k的值为______．
正确答案
由等差数列的函数特性知等差数列的前n项和是一个关于n的二次函数，
∵S3=S8，S7=Sk（k≠7），
∴3+8=7+k
∴k=4
故答案为：4
已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=
（1）求a1，a2，a3；
（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
正确答案
（1）a1=S1=
（2）猜想an=
证明：1°当n=1时，由（1）知a1=
所以
综上可知，猜想对一切n∈N+都成立．
已知数列{
正确答案
∵已知数列{
n=1可得，a3=a2-a1，即a3=6-3=3，
n=2，可得a4=a3-a2=3-6=-3，
故答案为-3；
数列{an}a1=1，an+1=2Sn+1（n≥1），an=______．
正确答案
∵an+1=2Sn+1，①
∴an=2sn-1+1②
②-①an+1-an=2an，
∴
∴数列是首项为1公比为3的等比数列，
∴an=3n-1，
故答案为：3n-1．
已知an=n2+λn，且an+1＞an对一切正整数n恒成立，则λ的取值范围______．
正确答案
∵an=n2+λn，且an+1＞an对一切正整数n恒成立
∴数列是一个单调递增的数列，
故f（x）=x2+λx在（1，+∞）上是一个增函数
由于数列是一个离散的函数，故可令-
故λ的取值范围是λ＞-3
数列1，-
正确答案
由已知中数列
可得数列各项的分母为一等比数列{2n}加上常数1，分子n+2，
又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负
故可用（-1）n-1来控制各项的符号，
故数列的一个通项公式为 an=(-1)n-1
故答案为：an=(-1)n-1
一个数列{1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…}，它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，…，依此类推，若an-1=20，an=21，则n=______．
正确答案
∵一个数列{1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，…}，
它的首项是1，随后两项都是2，接下来3项都是3，再接下来4项都是4，
…，
依此类推，对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，
则当n=20，
1+2+3+…+n=
∴a210=20，a211=a212=…=21，
若an-1=20，an=21，则n=211．
故答案为：211．
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n+5，则a2+a3+a4+a4+a5=______．
正确答案
因为a2+a3+a4+a4+a5=（a2+a3+a4）+（a4+a5）=S4-S1+S5-S3，
因为Sn=n2+2n+5，
所以S4=29，S1=8，S5=40，S3=20．
所以S4-S1+S5-S3=29-8+40-20=41．
故答案为：41．
已知数列{an}满足a1=2，an+1=3an-2，求an=______．
正确答案
由an+1=3an一2得：an+1-1=3（an-1），
∵a1-1=2-1=1≠0，
∴数列{an-1}构成以1为首项，以3为公比的等比数列，
∴an-1=1•3n-1=3n-1，
∴an=3n-1+1．
故答案为3n-1+1．
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