热门试卷

a1=S1=3+2=5，

an=Sn-Sn-1=（3+2n）-（3+2n-1）=2n-1，

当n=1时，2n-1=1≠a1，

∴an=．

（1）∵an+2-2an+1+an=0，

∴an+2-an+1=an+1-an（n∈N*）．

∴{an}是等差数列．设公差为d，

又a1=8，a4=a1+3d=8+3d=2，

∴d=-2．∴an=-2n+10．

（2）bn==

=（-），

∴Sn=b1+b2++bn=[（1-）+（-）++（-）]

=（1-）=．

假设存在整数m满足Sn＞总成立．

又Sn+1-Sn=-

=＞0，

∴数列{Sn}是单调递增的．

∴S1=为Sn的最小值，故＜，

即m＜8．又m∈N*，

∴适合条件的m的最大值为7．

（1）；（2）时，数列、可以为（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，时，数列对（，）不存在.（3）证明见解析．

试题分析：（1）这实质是已知数列的前项和，要求通项公式的问题，利用关系来解决；

（2）注意到，从而，又，故可求出，，这里我们应用了整体思维的思想，而要写出数列对（，），可通过列举法写出；（3）可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的，即对于数列对（，），构造新数列对，（），则数列对（，）也满足题意，（要说明的是及=且数列与，与不相同（用反证法，若相同，则，又，则有均为奇数，矛盾）．

试题解析：（1）时，

时，，不适合该式

故，                       4分

（2）

又

得，=46，=26                                   8分

数列、可以为：

① 16,10,8,12；14,6,2,4      ② 14,6,10,16；12,2,4,8

③ 6,16,14,10；4,12,8,2      ④ 4,14,12,16；2,10,6,8

⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6      ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2            10分

（3）令，（）        12分

又=，得

=

所以，数列对（，）与（，）成对出现。         16分

假设数列与相同，则由及，得，，均为奇数，矛盾！

故，符合条件的数列对（，）有偶数对。               18分项和与的关系；（2）整体思想与列举法；（3）构造法．

当n=1时，a1=S1=2-3+2=1．

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-3n+2-[2（n-1）2-3（n-1）+2]=4n-5．

∴an=．

（1）∵an+1=Sn+3n，∴Sn+1-Sn=Sn+3n，

∴Sn+1=2Sn+3n，∴Sn+1-3n+1=2（Sn-3n）

即bn+1=2bn，b1=S1-3=a-3，

∴bn=（a-3）•2n-1，

（2）由（1）可得，Sn-3n=（a-3）•2n-1．n≥2

an=2•3n-1+（a-3）•2n-2，an+1-an=2（3n-3n-1）+（a-3）（2n-1-2n-2）

=4•3n-1+（a-3）•2n-2≥0

a-3≥-=-8•()n-1

当n≥2时，-8•()n-1≤-8•=-12，∴a-3≥-12，a≥-9

而a2-a1=6+（a-3）-a=3＞0，∴a≥-9时，an+1≥an恒成立．

（1）由已知，得a1=S1=，

an=Sn-Sn-1=(2n-1)=an-(n∈N*，n≥2)…（3分）

又an-an-1=a（n∈N*，n≥2）…（2分）

所以，数列{an}为公差为a的等差数列．   …（1分）

（2）由an-an-1=a（n∈N*，n≥2）得

当a＞0时，数列{an}为递增数列；        …（2分）

当a=0时，数列{an}为常数列；           …（2分）

当a＜0时，数列{an}为递减数列．        …（2分）

 （1）；（2）见解析.

第一问利用数列的递推关系，我们可以得到当n是奇数时；当n是偶数时，,然后利用递推关系，求解得到数列的通项公式即可

第二问中，利用前n项和的递推关系，我们借助于，

若存在正整数m、n，使得，

得到，借助于m的范围，对其令值，然后解。

解：（1）当n是奇数时；当n是偶数时，．

所以，当n是奇数时，；当n是偶数时，．……………2分

又，，所以，是首项为1，公差为2的等差数列；

…是首项为2，公比为3的等比数列．       …………4分

所以，．         ………………………………6分

（2）由（1），得

，

．       ……………8分

所以，若存在正整数m、n，使得，则

．……9分

显然，当m=1时，；

当m=2时，由，整理得．

显然，当n=1时，不成立；

当n=2时，成立，

所以(2,2)是符合条件的一个解．                 ……………11分

当时，

……………12分

当m=3时，由，整理得n=1，

所以(3,1)是符合条件的另一个解．

综上所述，所有的符合条件的正整数对(m,n)，有且仅有(3,1)和(2,2)两对． 14分

（注：如果仅写出符合条件的正整数对(3,1)和(2,2)，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）

⑴⑵

⑴已知关系式，可利用迭加法或迭代法；

⑵已知关系式，可利用迭乘法.⑴方法1：（迭加法）

，

方法2：（迭代法），

，.

⑵，，当时，

.

【名师指引】⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：

①

② .

解：（Ⅰ），．

（Ⅱ）．

本试题主要是考查了等差数列的定义，以及数列的求和的综合运用。

（1）根据已知，得到数列的递推关系，然后分析可知，利用等比数列定义得到通项公式的求解。

（2）在第一问的基础上可知通项公式，然后借助于分组求和的思想得到结论。

解：（Ⅰ）由已知得：，，，.

所以数列是以1为首项，4为公差的等差数列．   ………………………………4分

所以数列的通项公式为，         ……………………6分

又，所以数列的通项公式为．         ………………… 8分

（Ⅱ）

计算并化简得．            …………………………………12分

（1）；（2）见解析.

第一问中，利用 .

第二问中，猜想点在直线上，即并用数学归纳法给予证明即可。

解：

.

猜想点在直线上，即.证明如下：

 成立。

即，猜想成立。即点