- 数列
- 共33563题
已知数列
正确答案
设
点评：求递推式形如
数列5，55，555，5555，…的一个通项公式为an=______．
正确答案
∵5=
∴an=
故答案为：
把数列{
正确答案
由第k行有2k-1个数，知每一行数的个数构成等比数列，首项是1，公比是2，
∴前k-1行共有
∴第k行第一个数是A（k，1）=
∴A（k，s）=
由
解得k=13，s=175．
则这个数记作A（13，175）．
故答案为：（13，175）
数列{an}满足a1=2，an+1=
（1）设bn=
（2）设cn=
正确答案
（1）∵an+1=
∴
∵bn=
∴bn+1-bn=n+
∴bn=b1+（b2-b1）+…+（bn-bn-1）=b1+
∵bn=
∴b1=1
∴bn=
（2）由（1）知，an=
∴cn=
∴Sn=
∵(
1
2
)n+1×
1
2
)n+1×(1+
∴(
1
2
)n+1×
1
2
)1+1×
∴
1
2
)n+1×
已知数列{an}的首项为a1=1，且数列的前n项和Sn=n2an（n∈N*）．
（1）求a2，a3，a4，a5的值；
（2）猜想数列{an}（3）的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
正确答案
（1）∵Sn=n2an，∴an+1=Sn+1-Sn=（n+1）2an+1-n2an
∴an+1=
∴a2=
（2）猜测an=
①当n=1时，结论显然成立．
②假设当n=k时结论成立，即ak=
则当n=k+1时，ak+1=
故当n=k+1时结论也成立．
由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有an=
已知数列{an}满足am•n=am•an（m，n∈N*），且a2=3，则a8=______．
正确答案
由am•n=am•an，得a4=a2•2=a2•a2=9，a8=a2•4=a2•a4=3×9=27．
故答案为：27．
已知数列{an}满足a1=1，a2=-13，an+2-2an+1+an=2n-6
（Ⅰ）设bn=an+1-an，求数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求n为何值时，an最小（不需要求an的最小值）
正确答案
（I）∵bn=an+1-an，∴an+2-2an+1+an=bn+1-bn=2n-6
将这n-1个等式相加，得
∴bn=n2-7n-8
即数列{bn}的通项公式为bn=n2-7n-8
（Ⅱ）若an最小，则an≤an-1且an≤an+1，即bn-1≤0且bn≥0
∴
∴当n=8或n=9时，an的值相等并最小
已知数列{an}的前n项和为sn，满足sn+sm=sn+m（n，m∈N*），且a1=1，则a2012=______．
正确答案
根据题意，在sn+sm=sn+m中，
令n=1，m=2011可得：s1+s2011=s2012，，即s2012-s2011=s1=a1=1，
根据数列的性质，有a2012=s2012-s2011，即a2012=1．
故答案为1．
已知数列
（1） 求常数
（2） 若抽去数列
（3） 在（2）的条件下，设数列
正确答案
（1）所求常数
（3）
第一问中解：由
又因为存在常数p使得数列
则
故数列
此时
第二问中，解：由等比数列的性质得：
（i）当
（ii） 当
所以
第三问假设存在正整数n满足条件，则
则（i）当
数列{a}满足a=1，
正确答案
由
设a
∴{
∴
数列{an}满足Sn=2n-an（n∈N*）．
（1）计算a1，a2，a3，a4；
（2）由（1）猜想通项公式an．
正确答案
（1）由于Sn=2n-an（n∈N*），
所以当n=1时，S1=a1=2×1-a1，a1=1；
当n=2时，S2=a1+a2=2×2-a2，a2=
当n=3时，S3=a1+a2+a3=2×3-a3，a3=
当n=4时，S4=a1+a2+a3+a4=2×4-a4，a4=
（2）由（1）可以猜想通项公式an=
已知数列{an}的前n项和Sn=n3，则a5+a6的值为______．
正确答案
由题意得，
a5+a6=S6-S4
=63-43
=216-64
=152．
故答案为：152．
数列{an}的通项公式为an=2n-49，Sn达到最小时，n等于______．
正确答案
由an=2n-49可得
an+1-an=2（n+1）-49-（2n-49）=2是常数，
∴数列{an}为等差数列，
∴Sn=
∴Sn=
当n=24时，和Sn有最小值．
故答案为：24．
设数列an=n2+λn（n∈N*），且满足a1＜a2＜a3＜---＜an＜k，则实数λ的取值范围是______．
正确答案
∵an=n2+λn①∴an+1=（n+1）2+λ（n+1）②
②-①得an+1-an=2n+1+λ．由已知，数列{an}为单调递增数列，则an+1-an＞0对于任意n∈N*都成立，即 2n+1+λ＞0．
移向得λ＞-（2n+1），λ只需大于-（2n+1）的最大值即可，易知当n=1时，-（2n+1）的最大值 为-3，所以λ＞-3
故答案为：λ＞-3．
正整数按下表排列：
1 2 5 10 17 …
4 3 6 11 18 …
9 8 7 12 19 …
16 15 14 13 20 …
25 24 23 22 21 …
…
位于对角线位置的正整数1，3，7，13，21，…，构成数列{an}，则a7=______；通项公式an=______．
正确答案
∵a2-a1=2，
a3-a2=4，
a4-a3=6
…
an-an-1=2（n-1）
把上式叠加得到：
an=2+4+6+…+2（n-1）+a1
=n2-n+1，
故答案为：43，n2-n+1．
扫码查看完整答案与解析