热门试卷

解：（1）

又，则，类似地求得

（2）由，，…

猜得：；证明见解析.

本试题主要是考查了数列的归纳猜想的思想的运用，以及运用数学归纳法证明猜想的结论的综合运用。

（1）利用通项公式和前n项和的关系式，对n令值，分别得到前几项。

（2）根据前几项，归纳猜想其通项公式，并运用数学归纳法，分为两步来证明。

解：（1）

又，则，类似地求得

（2）由，，…

猜得：

以数学归纳法证明如下：

①      当时，由（1）可知等式成立；

②假设当时猜想成立，即

那么，当时，由题设得

，

所以＝＝

－

因此，

所以

这就证明了当时命题成立.

由①、②可知命题对任何都成立.

（1）由a1=0，且an+1=-an+3n（n=1，2，3）

得a2=-a1+3=3，

a3=-a2+32=6．

（2）由an+1=-an+3n变形得

an+1-=-（an-），

∴{an-}，是首项为a1-=-公比为-1的等比数列

∴an-=-（-1）n-1

∴an=+（-1）n•（n=1，2，3…）

（3）①当n是偶数时

===+

∴随n增大而减少

∴当n为偶数时，最大值是．

②当n是奇数时

===-

∴随n增大而增大且=-＜＜

综上最大值为．

（1）或；（2）见解析；

（3）；

本试题主要是考查了数列的前n项和与通项公式的关系式的运用。

（1）n=1入得或

（2）由已知有，当时，有，两式作差得到递推关系式，进而得到结论。

解：（1）n=1入得或；　　　　　…………………2分

（2）已知有，　　　　　①

当时，有　　②………………………4分

①-②得：，即；　…………6分

（3）由（2）得或，　　　………………………7分

由得通项公式为：；　　…………8分

由得通项公式为：；　　　　…………9分

由得通项公式为：；　　…………10分

由得通项公式为：；…………11分

则所求通项公式为；……12分

（1）∵n≥2时，点(，)在f（x）=x+2的图象上，

∴-=2，（n≥2）

故数列{}是一个以2为公差的等差数列

又∵S1=，=2

∴=2n，即Sn=

∴n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=

又∵n=1时，无意义

故an=

（2）∵bn=2（1-n）an，

∴当n=1时，b1=0，

当n≥2时，bn=2（1-n）•=

∴f（n）===≤

当且仅当n+1=2，即n=1时取等

（3）当n≥2时，

Tn=++…

=++…+

＜++…+

=1-+-+…+-

=1-＜1

即Tn＜1

（1）由a3a1-a22=t（t-1）和a1=1，a2=t

∴a3=2t2-t…（4分）

（2）由an+2an-an+12=tn（t-1），（n∈N*）

得an+1an-1-an2=tn-1（t-1）（n≥2），

再由上两式相除得到：∴an+2an-an+12=tan+1an-1-tan2∴an（an+2+tan）=an+1（an+1+tan-1）

∴=

即{}为常数列

∴=

而a3+ta1=2t2∴=2t．

即an+2-2tan+1+tan=0．…（9分）

（3）由t＞1知：an+2an＞an+12≥0

∴an+2an＞0

故an+2与an同号

而a1=1＞0，a2=t＞0．

故an＞0．

又a•n+2an＞

即＞

∴＞＞…＞=t＞1

∴an+1＞an∴an≥1

∴an+1＞an≥1．…（14分）

（1）；

（2）；

（3）；　

本试题主要是考查了数列的通项公式的归纳猜想，以及数列求和的综合运用。

（1）由已知可知，

（2）得到，然后裂项求和得到结论

（3），可知数列的前n项和为，然对n讨论得到。

解：（1）知；　……………………3分

（2）得，　　　……………………………5分

则；………………7分

（3），　　　　　………………8分

数列的前n项和为　　………………9分

①当时，　……10分

②当n时，

……11分

则；　　　　　　　……………………12分

（1）；（2）详见解析.

试题分析：（1）利用时，以及时，以此求出数列的通项公式；（2）利用基本不等式由此证明，利用裂项法得到，由此计算出数列的前项和，于此证明.

（1）点在的图象上，，

当时，；

当时，适合上式，

；

（2）证明：由，

，

又，

，

成立.

依题意，，即，

由此得，