热门试卷

（1）

（2）猜想

下用数学归纳法证明：

①假设当时，结论成立，即，

②则当时，有

解方程得，即当时，结论也成立

由①②可知，猜想成立

略

⑴⑵⑶⑷

⑴联想数列即数列，可得数列的通项公式；

⑵将原数列改写为分母分别为分子分别为

呈周期性变化，可以用，或，或表示.

（或，或）

⑶分子为正偶数列，分母为得

⑷观察数列可知：

本题也可以利用关系式求解.

【名师指引】⑴联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.

⑵求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.

（I）91（项）；（II） ；

（III）存在=993+29=1022，使．

试题分析：（1）根据题意将第个1与第个1前的2记为第对，那么结合已知条件得到前对共有项数为

（2）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，

故第2012项在第45对中的第32个数。

（3）由于前k对所在全部项的和为，可知结论。

解：将第个1与第个1前的2记为第对，

即为第1对，共项；

为第2对，共项；……；

为第对，共项；

故前对共有项数为．        

（I）第10个1所在的项之前共有9对，所以10个1为该数列的

9×(9+1)+1=91（项）                              …………3分

（II）因44×45=1980，45×46=2070，2012-1980=32，

故第2012项在第45对中的第32个数，从而

　　又前2012项中共有45个1，其余2012－45＝1967个数均为2，

于是   ……………………7分

（III）前k对所在全部项的和为，易得，

，，

即且自第994项到第1056项均为2，而2012-1954=58能被2整除，

故存在=993+29=1022，使．     ……………………14分

点评：解决该试题的关键是先将数列分组，便于发现规律，如分为（1，2），（1，2，2，2），（1，2，2，2，2,2）…，每组的项数构成数列2，4，6，…，发现将第个1与第个1前的2记为第对，则前对共有项数为最后数列分组求和即可。

（1）∵-=-=-==-1，

而=-2，

∴数列{}是首项为-2，公差为-1的等差数列．

（2）由（1）得=-n-1，

∴an=．

∵an+1-an=-==＞0，

∴an+1＞an，

∴数列{an}是单调递增数列．

（1）当n≥2时，an=Sn-Sn-1，

∴Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-)=Sn2-Sn-SnSn-1+Sn-1，

∴Sn-1-Sn=2SnSn-1，

∴-=2，

即数列{}为等差数列，S1=a1=1，

∴=+(n-1)×2=2n-1，

∴Sn=，…（4分）

当n≥2时，an=sn-sn-1=-=

∴an= …（8分）

（2）bn===(-)，

∴Tn=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=