平面直角坐标系_章节学习

1

题型：简答题

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简答题

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的轴的正半轴重合．直线的参数方程是（为参数），曲线C的极坐标方程为．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线与曲线C相交于M，N两点，求M，N两点间的距离．

正确答案

（Ⅰ）x2+y2-x-y=0；（Ⅱ）

试题分析：（Ⅰ）利用x=，y=，可把曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程.（Ⅱ）把直线l的参数方程转化为普通方程，求出圆心到直线l的距离，最后利用勾股定理即可求出MN的长度.

试题解析：（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为=，所以2=，

即x2+y2=x+y，所以曲线C的直角坐标方程x2+y2-x-y="0."

（Ⅱ）直线l的参数方程中消去参数t可得普通方程4x-3t+1=0,而圆的普通方程为x2+y2-x-y=0，所以圆心C（，），半径r=，圆心C到直线l的距离d= ，

所以直线l被圆C截得的弦长为：=.即M、N两点间的距离为.

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题型：简答题

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简答题

（(本小题满分10分)

选修4—4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲线C交于A、B两点．

(1)写出直线的极坐标方程与曲线C的普通方程；

(2) 线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求的值．

正确答案

解（1）直线的极坐标方程， ……3分

曲线普通方程 ……5分

（2）将代入得，……8分

……10分

略

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题型：填空题

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填空题

(坐标系与参数方程选做题) 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为 .

正确答案

4

由，得

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题型：简答题

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简答题

在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r=1，P在圆C上运动。

（I）求圆C的极坐标方程；

（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程。

（I）求圆C的极坐标方程；

（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）

中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程。

正确答案

解：（Ⅰ）设圆上任一点坐标为，由余弦定理得

所以圆的极坐标方程为………………… （5分）

（Ⅱ）设则，在圆上，则的直角坐标方程为

………………… （10分）

略

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题型：填空题

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填空题

已知在极坐标系下，点是极点，则两点间的距离

_____________；的面积等于_______．

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

如图，在正方形中，为的中点，为以为圆心、为半径的圆弧上的任意一点，设向量，则的最小值为；

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

①（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，则圆C的极坐标方程是；

②(不等式选做题)已知关于x的不等式的解集为，则实数的取值范围是．

正确答案

（1）（2）

试题分析：（1）把极坐标形式化为直角坐标系形式，∵点，∴x=，∴点P（1，1）．

∵直线展开为，∴y−，令y=0，则x=1，∴直线与x轴的交点为C（1，0）．

∴圆C的半径r=|PC|=1．∴圆C的方程为：（x-1）2+y2=1，展开为：x2-2x+1+y2=1，化为极坐标方程：ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

∴圆C的极坐标方程为：ρ=2cosθ．

（2）由得，所以函数y=的图象总在函数y=x-2图象的上方，所以-2a<2,解得a<-1.

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，曲线与曲线的一个交点在极轴上，则的值为__________．

正确答案

试题分析：∵曲线的极坐标方程为：，∴曲线的普通方程是，∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的普通方程是，∵曲线与曲线的一个交点在极轴上，∴令则，点在圆上，解得，故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．

（Ⅰ）写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；

（Ⅱ）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

正确答案

（Ⅰ）,；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）将展开得，则转化成直角坐标方程为，那么M，N的极坐标时，，所以，时，，所以；（Ⅱ）先将MN的极坐标转化成直角坐标点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为，从而点的直角坐标为，则点的极坐标为，所以直线的极坐标方程为.

试题解析：（Ⅰ）由得．

从而的直角坐标方程为，即．

时，，所以．

（Ⅱ）点的直角坐标为（2，0），点的直角坐标为．

所以点的直角坐标为，则点的极坐标为．

所以直线的极坐标方程为．

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题型：填空题

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填空题

圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为，该圆的面积为．

正确答案

x2+y2-2x=0 π

此题答案应为：x2+y2-2x=0 π

先在极坐标方程p=2cosθ的两边同乘以ρ，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．

解：将方程p=2cosθ两边都乘以p得：p2=2pcosθ，

化成直角坐标方程为

x2+y2-2x=0．半径为1，面积为π．

故填：x2+y2-2x=0 π．

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