- 平面直角坐标系
- 共746题
(参数方程极坐标)已知定直线l:ρcosθ=a,a>0,O为极点,Q为l上的任意一点连接OQ,以OQ为一边作正三角形OQP.O,P,Q三点按顺时针方向排列,求当点Q在l上运动时点P的极坐标方程,并化成直角坐标方程.
正确答案
解:如图所示:设点P的坐标为(ρ,θ),则有题意可得点Q的坐标为(ρ,θ-),再由点Q的横坐标等于a,a>0,
可得,即当点Q在l上运动时点P的极坐标方程为 .
由 可得 +=a,
故当点Q在l上运动时点P的直角坐标方程为.
解析
解:如图所示:设点P的坐标为(ρ,θ),则有题意可得点Q的坐标为(ρ,θ-),再由点Q的横坐标等于a,a>0,
可得,即当点Q在l上运动时点P的极坐标方程为 .
由 可得 +=a,
故当点Q在l上运动时点P的直角坐标方程为.
(坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点为圆心,2为半径的圆的直角坐标方程是______.
正确答案
x2+(y-2)2=4
解析
解:设点C在直角坐标系中的坐标为C(m,n),可得
m=2cos=0,n=2sin=2
∴C的直角坐标坐标为(0,2)
结合圆C的半径为R=2
根据圆的标准方程,得圆C的方程为x2+(y-2)2=4
在极坐标系中,圆ρ=2cosθ直径等于______.
正确答案
解:在极坐标系中,圆ρ=2cosθ直径等于2.
故答案为:2.
解析
解:在极坐标系中,圆ρ=2cosθ直径等于2.
故答案为:2.
把所给的极坐标方程ρ=-4cosθ+sinθ化成直角坐标方程为______.
正确答案
x2+y2+4x-y=0
解析
解:∵ρ=-4cosθ+sinθ,
∴ρ2=ρsinθ-4ρcosθ,
∴x2+y2=y-4x,
即x2+y2+4x-y=0.
故答案为:x2+y2+4x-y=0.
已知曲线C的极坐标方程是ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,则曲线C的直角坐标方程是______.
正确答案
x2+y2=1
解析
解:由题意可得,曲线C上的任意一点到原点的距离等于1,故曲线C的直角坐标方程是 x2+y2=1,
故答案为 x2+y2=1.
把直角坐标方程(x-3)2+y2=9化为极坐标方程.
正确答案
解:原方程可展开为x2-6x+9+y2=9,
x2-6x+y2=0→ρ2-6•ρcosθ=0
∴ρ=0或ρ=6cosθ
即ρ=6cosθ.
解析
解:原方程可展开为x2-6x+9+y2=9,
x2-6x+y2=0→ρ2-6•ρcosθ=0
∴ρ=0或ρ=6cosθ
即ρ=6cosθ.
在极坐标系中A(2,),B(2,π),则AB的中点的极坐标为______.
正确答案
(1,)
解析
解:根据极坐标与直角坐标的坐标间的关系 x=rcosθ,y=rsinθ,r=,
故极坐标系中A(2,),B(2,π)两点的直角坐标为A(1,)、B(-2,0),
故中点的直角坐标为 (-1,),化为极坐标为(1,),
故答案为 (1,).
化曲线E的极坐标方程:kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0为直角坐标方程,并说明曲线的形状.
正确答案
解:由kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0可得:kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0,化为为直角坐标方程:
kx2+3y2-6x=0.
当k=0时,化为y2=2x,为抛物线.
当k≠0时,化为+=1,当k>0时,为椭圆;当k<0时,为双曲线.
解析
解:由kρcos2θ+3ρsin2θ-6cosθ=0可得:kρ2cos2θ+3ρ2sin2θ-6ρcosθ=0,化为为直角坐标方程:
kx2+3y2-6x=0.
当k=0时,化为y2=2x,为抛物线.
当k≠0时,化为+=1,当k>0时,为椭圆;当k<0时,为双曲线.
在极坐标系中,极点到直线ρcosθ=2的距离为______.
正确答案
2
解析
解:直线ρcosθ=2 即 x=2,极点的直角坐标为(0,0),故极点到直线ρcosθ=2的距离为2,
故答案为 2.
以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
正确答案
解析
解:直线l的参数方程是(t为参数),化为普通方程为 x-y-4=0;
圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,即ρ2=4ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2=4x,
即 (x-2)2+y2=4,表示以(2,0)为圆心、半径r等于2的圆.
弦心距d==<r,∴弦长为2=2=2,
故选:D.
扫码查看完整答案与解析