平面直角坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（为参数）M是C1上的动点，P点满足,P点的轨迹为曲线C2

（1）求C2的方程

（2）在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求.

正确答案

（1）（为参数）

（2）

（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以

即

从而的参数方程为

（为参数）

（2）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。

射线与的交点的极径为，

射线与的交点的极径为。

所以.

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:(是参数).

（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,将直线的参数方程化为普通方程;

（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点,且,试求实数m值.

正确答案

（1），；（2）或.

试题分析：本题考查直角坐标系与极坐标系之间的互化、参数方程与普通方程的转化、参数的几何意义等基础知识，考查学生的转化能力和计算能力.第一问，利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转化公式，进行转化方程，利用参数方程进行消参将参数方程转化为普通方程；第二问，将直线方程与曲线C的方程联立，得到关于t的方程，利用韦达定理得到和的值，再利用求出值，解出m的值.

试题解析：(I)曲线C的极坐标方程是化为直角坐标方程为:

直线的直角坐标方程为: 4分

（2）:把(是参数)代入方程, 得, 6分

.

或 10分

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题型：简答题

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简答题

从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M,P为OM上一点,已知OP·OM=1,求P点所在曲线的极坐标方程.

正确答案

ρ=2cosθ+4sinθ

以O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,直线方程化为

2ρcosθ+4ρsinθ-1=0,

设M(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=0.

又知

代入得:2cosθ+4sinθ-1=0,∴ρ=2cosθ+4sinθ.

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题型：简答题

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简答题

已知☉O1和☉O2的极坐标方程分别是ρ=2cosθ和ρ=2asinθ(a是非零常数).

(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程.

(2)若两圆的圆心距为,求a的值.

正确答案

(1) x2+(y-a)2=a2. (2) ±2

(1)由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,

所以☉O1的直角坐标方程为x2+y2=2x,

即(x-1)2+y2=1.

由ρ=2asinθ,得ρ2=2aρsinθ.

所以☉O2的直角坐标方程为x2+y2=2ay,

即x2+(y-a)2=a2.

(2)☉O1与☉O2的圆心之间的距离为,解得a=±2.

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题型：填空题

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填空题

已知曲线的参数方程是．（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则在曲线上到直线的距离为的点有________个.

正确答案

个

试题分析：将曲线的参数方程是．（为参数）转化成直角坐标系下的方程为：.直线化成直角坐标方程为：.可知圆心到直线的距离，所以圆上有个点到直线的距离为.

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题型：填空题

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填空题

若直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离为

正确答案

.

试题分析：极坐标系里求距离不太熟悉时，我们把极坐标方程化为直角坐标方程，展开得，即直线的直角坐标方程为，∴极点（即原点）到该直线距离为．

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题型：填空题

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填空题

已知点P的极坐标为，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为

正确答案

.

试题分析：如图是直线上任一点，极坐标为，，又，∴.也可用直角坐标方程来求极坐标方程，所作直线的直角坐标方程是，化为极坐标方程就是．

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题型：填空题

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填空题

已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为______.

正确答案

试题分析：直线l普通方程为，圆C的直角坐标方程为，配方得，，故圆心C到直线l距离为．

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α<π）。以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为

ρcos2θ=4sinθ。

（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；

（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若，求α的值。

正确答案

（1）（2）或

试题分析：（1）先利用消去参数得到曲线的直角坐标方程．再将原极坐标方程,两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；

（2）将代入曲线的标准方程：得：，利用直线的参数方程中的几何意义结合根与系数的关系建立关于的方程即可求出求出的值．

试题解析：（1）直线普通方程为

曲线的极坐标方程为，则 5分

（2）将代入曲线

7分

9分

或 10分

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C:ρsin(θ+)=,曲线P:ρ2-4ρcosθ+3=0,

(1)求曲线C,P的直角坐标方程.

(2)设曲线C和曲线P的交点为A,B,求|AB|.

正确答案

(1) x2+y2-4x+3=0 (2)

(1)由ρsin(θ+)=,得

ρ[sinθ·(-)+cosθ·]=,

∴ρcosθ-ρsinθ-1=0,

∴x-y-1=0,

由ρ2-4ρcosθ+3=0,

得x2+y2-4x+3=0.

(2)曲线P表示为(x-2)2+y2=1表示圆心在(2,0),半径r=1的圆,

由于圆心到直线C的距离为d==,

∴|AB|=2=.

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