平面直角坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，AB是半径为1的圆的一条直径，C是此圆上任意一点，作射线AC，在AC上存在点P，使得AP·AC＝1，以A为极点，射线AB为极轴建立极坐标系．

(1)求以AB为直径的圆的极坐标方程；

(2)求动点P的轨迹的极坐标方程；

(3)求点P的轨迹在圆内部分的长度．

正确答案

（1）ρ＝2cosθ（2）（3）

(1)易得圆的极坐标方程为ρ＝2cosθ.

(2)设C(ρ0，θ)，P(ρ，θ)，则ρ0＝2cosθ，ρ0ρ＝1.

∴动点P的轨迹的极坐标方程为ρcosθ＝.

(3)所求长度为.

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题型：简答题

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简答题

（本小题共10分）

在直角坐标系中直线L过原点O，倾斜角为，在极坐标系中（与直角坐标系有相同的长度单位，极点为原点，极轴与x的非负半轴重合）曲线C:，

（1)求曲线C的直角坐标方程；

（2)直线L与曲线C交于点,求的值。

正确答案

（1），（2）

试题分析：（1）∵，∴，∴，平方化简得

（2）由题意，所以直线方程为，联立解得M（1，），N（），所以=

点评：对于参数方程与极坐标的考查，主要的就是考查参数方程和极坐标转化为普通方程的过程.直线的极坐标方程的建立一般是通过直角三角形来处理.

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题型：填空题

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填空题

正确答案

，去分母得，，

极坐标方程化为直角坐标方程是重点，在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合。

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题型：填空题

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填空题

把极坐标系中的方程化为直角坐标形式下的方程为

正确答案

试题分析：根据题意，由于极坐标系中的方程，结合ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，可知结论为，故答案为。

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．

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题型：填空题

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填空题

直线与圆相交的弦长为___________.

正确答案

试题分析：直线化为，圆化为，由得：两交点为和，求得弦长。

点评：解决极坐标系中的问题，需先将问题转化为直角坐标系中得问题。

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题型：简答题

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简答题

求极坐标方程分别为ρ＝cosθ与ρ＝sinθ的两个圆的圆心距．

正确答案

圆心分别为和，故圆心距为

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题型：填空题

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填空题

已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为（，曲线、曲线的交点为，则弦长为 .

正确答案

试题分析：由、将曲线与曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程.因为，所以，，即，所以曲线表示一个圆.由，得，即，其中.易知在直角坐标系中，曲线、曲线的交点分别为（0,0）与（3,3），所以弦长为.

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，曲线与ρcosθ=-1 的交点的极坐标为________

正确答案

试题分析：解：将ρ=2sinθ代入ρcosθ=-1，得2sinθcosθ=-1，∴sin2θ=-1．

∵0≤θ≤2π，及sinθ≥0，cosθ≤0，∴≤θ≤π，∴π≤2θ≤2π，∴2θ=，∴θ=．将θ=代入ρ=2sinθ，得ρ=2×sin= ．故曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=-1的交点的极坐标为.故答案为。

点评：本题考查极坐标系中的曲线与曲线的交点的极坐标，可直接代入计算出，亦可先化为普通方程求出其交点坐标，然后再化为极坐标

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，点到直线的距离是

正确答案

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试题分析：直线化为直角坐标方程为，点的直角坐标为，点到直线的距离，故答案为1.

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题型：简答题

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简答题

本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换

在平面直角坐标系中，把矩阵确定的压缩变换与矩阵确定的旋转变换进行复合，得到复合变换．

（Ⅰ）求复合变换的坐标变换公式；

（Ⅱ）求圆在复合变换的作用下所得曲线的方程．

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），、分别为直线与轴、轴的交点，线段的中点为．

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；

（Ⅱ）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点的极坐标和直线的极坐标方程．

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

已知不等式的解集与关于的不等式的解集相等．

（Ⅰ）求实数，的值；

（Ⅱ）求函数的最大值，以及取得最大值时的值．

正确答案

(1),(2) ,的极坐标为，

(3),时，函数取得最大值

试题分析：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.

解：（Ⅰ）复合变换对应的矩阵为，……2分

所以，复合变换的坐标变换公式为. ……………3分

（Ⅱ）设圆上任意一点在变换的作用下所得的点为，

由（Ⅰ）得，即，………………5分

代入圆，得，

所以，曲线的方程是．…………………7分

（2）（本小题满分7分）选修4—4:坐标系与参数方程

本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想.满分7分.

（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲

本小题主要考查绝对值的含义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想.满分7分.

（Ⅰ）∵不等式的解集为，……………………1分

∴不等式的解集为.

从而为方程的两根，………………2分

，

解得：．……………………3分

（Ⅱ）函数的定义域为，且显然有，

由柯西不等式可得：

　　，……………5分

当且仅当时等号成立， ……………6分

即时，函数取得最大值．………………7分

点评：主要是考查了考查三选一中矩阵与变换、绝对值、柯西不等式知识点的运算求解能力及函数与方程思想，以及化归与转化思想.

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正确答案

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