平面直角坐标系
共746题

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题型：简答题

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线的参数方程为.在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.

（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线相切，求实数a的值.

正确答案

（Ⅰ）由得，…………２分

结合极坐标与直角坐标的互化公式得，

即 …………５分

（Ⅱ）由直线的参数方程化为普通方程，

得，. …………７分

结合圆C与直线相切，得，

解得.

略

题型：填空题

填空题

化极坐标方程为直角坐标方程为．（请化为一般方程）

正确答案

试题分析：由得，

化为直角坐标方程为。

点评：简单题，极坐标方程化为普通方程，常用的公式有，，等。

题型：填空题

填空题

已知点Q的球坐标为，则它的直角坐标为。

正确答案

试题分析：球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:

x=rsinθcosφ=2sincos=-1，

y="rsinθsinφ" =2sinsin=1，

z="rcosθ" =2cos=-，所以点M的直角坐标。

点评：简单题，球坐标系(r,θ,φ)与直角坐标系(x,y,z)的转换关系:

x=rsinθcosφ，y=rsinθsinφ，z=rcosθ。

题型：简答题

简答题

（本题8分）在极坐标系中，求过极点且圆心在的圆的极坐标方程．

正确答案

略

题型：填空题

填空题

若分别是曲线和上的动点，则两点间的距离的最小值是；

正确答案

试题分析：曲线和可化为直角坐标方程为：与，∴在直线与圆心半径为1的圆上，圆心到直线的距离，∴两点间的距离的最小值

点评：遇到极坐标方程，可以先化为直角坐标方程，再进行求解.

题型：简答题

简答题

在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.

（1）求圆的直角坐标方程；

（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求

正确答案

（1）（2）

试题分析：（1）由得即 (4分)

（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得，即(7分)

由于，故可设是上述方程的两实根，所以

，故由上式及的几何意义得： (10分)

点评：容易题，涉及参数方程、极坐标的题目，往往难度不太大，在直线与圆锥曲线位置关系问题中，考查韦达定理应用的题目居多。

题型：简答题

简答题

（本小题满分9分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合．直线的参数方程为：（t为参数），曲线的极坐标方程为：．

（Ⅰ）写出的直角坐标方程，并指出是什么曲线；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于、两点，求值．

正确答案

（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，它是以为圆心，半径为的圆.

（Ⅱ）

第一问考查极坐标方程化普通方程，普通方程化标准方程；第二问考查弦长的求法，即可以用弦长公式，也可以利用圆心到直线的距离与公式求解。

解：（Ⅰ），，

由得：

所以曲线的直角坐标方程为，

它是以为圆心，半径为的圆.

（Ⅱ）把代入整理得，

设其两根分别为、，则，

另解：

化直线参数方程为普通方程，然后求圆心到直线距离，再用垂径定理求得的值．

题型：填空题

填空题

（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线C1与C2交于A, B两点，则直线AB的长为

正确答案

解：因为曲线表示圆心为（1,0），半径为1的圆，曲线表示射线y=x,那么圆心到直线的距离和圆的半径以及半弦长的关系，结合勾股定理得到结论为

题型：简答题

简答题

已知圆，直线l:

（1）求圆C的普通方程.若以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，写出圆C的极坐标方程.

（2）判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由；若相交，请求出弦长

正确答案

（1）---------2分---------------5分

（2）解法一：由于直线l过圆心，-------6分所以直线与圆相交-----8分

弦长为4---------10分

解法二：-----------6分

圆心到直线的距离，所以直线与圆相交-------------8分

由于直线l过圆心，所以弦长为4

I）利用,消去参数即可.利用极坐标方程与普通方程相互转化公式即可求得圆的极坐标方程.

(II)要把圆和直线都化成普通方程，然后利用圆心到直线的距离与半径进行比较判断直线与圆的位置关系，d>r 相交;d="r" 相切； d求弦长即可.

题型：填空题

填空题

若(x,y)与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲线：①θ=和sinθ=； ②θ=和tanθ=； ③ρ2－9=0和ρ= 3；

④和. 其中表示相同曲线的组数为 .

正确答案

试题分析：由于，所以由sinθ=得，，即①θ=和sinθ=表示不同曲线；

由于，所以由tanθ=得，，所以②θ=和tanθ=表示相同曲线；

由ρ2－9=0得到ρ=3，所以③ρ2－9=0和ρ= 3表示相同曲线；

和化为普通方程后均为，故表示相同曲线的组数为3.

点评：简单题，极坐标方程中，注意极径、极角的范围限制。

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