平面直角坐标系
共746题

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题型：填空题

填空题

若曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为______．

正确答案

曲线的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ，即 ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ，

即x2+y2=2y+4x，化简为（x-2）2+（y-1）2=5，

故答案为（x-2）2+（y-1）2=5．

题型：简答题

简答题

（选做题）在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程，

（1）求圆心的极坐标。

（2）若圆C上点到直线l的最大距离为3，求r的值。

正确答案

解：（1）圆的直角坐标方程：（，

圆心坐标为C，，

圆心C在第三象限，，

圆心极坐标为（1，）。

（2）圆C上点到直线l的最大距离等于圆心C到l距离和半径之和l的直角坐标方程为x+y-1=0，

，

。

题型：填空题

填空题

极坐标系中，若A(3，)，B(-3，)，则 s△AOB=______（其中O是极点）．

正确答案

∵极坐标系中，A(3，)，B(-3，)，

3cos=，3sin=；-3cos=-，-3sin=-．

∴在平面直角坐标系中，A（，），B（-，-），

∴=（，），=（-，-），

∴|| = 3，||=3，

∴cos＜，＞==-，

∴sin＜，＞==，

∴S△AOB=×3×3×=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

在极坐标系中，曲线ρ=4sinθ和ρcosθ=1相交于点A、B，则|AB|=（）

正确答案

题型：填空题

填空题

圆的极坐标方程为ρ=2cos（θ+），则该圆的圆心的极坐标是______．

正确答案

∵ρ=2cos（θ+），展开得ρ=cosθ-sinθ，

∴ρ2=ρcosθ-ρsinθ，

∴x2+y2=x-y，

∴(x-)2+(y+)2=1．∴圆心(，-)．

∴ρ==1，tanθ==-，∴θ=-．

故圆心的极坐标是(1，-)．

故答案为(1，-)．

题型：填空题

填空题

已知圆C的极坐标方程是ρ=2sinθ，那么该圆的直角坐标方程为 ______，半径长是 ______．

正确答案

把极坐标方程是ρ=2sinθ的两边同时乘以ρ得：ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y，

即 x2+（y-1）2=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于 1 的圆，

故答案为：x2+（y-1）2=1；1．

题型：简答题

简答题

已知P为半圆C：（θ为参数，0≤θ≤）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为。

（Ⅰ）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；

（Ⅱ）求直线AM的参数方程。

正确答案

解：（Ⅰ）由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为；

（Ⅱ）点M的直角坐标为，A（1，4）

故直线AM的参数方程为（t为参数）。

题型：填空题

填空题

圆ρ=2sinθ的圆心到直线2ρcosθ+ρsinθ+1=0的距离是______．

正确答案

由ρ=2sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0，其圆心是A（0，1），

由2ρcosθ+ρsinθ+1=0得：

化为直角坐标方程为2x+y+1=0，

由点到直线的距离公式，得+d==．

故答案为．

题型：简答题

简答题

选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程．

（I）求圆心的极坐标．

（II）若圆C上点到直线l的最大距离为3，求r的值．

正确答案

解：（I）圆的直角坐标方程：（+=1，

圆心坐标为C，ρ==1，

∴圆心C在第三象限，θ=，

∴圆心极坐标为（1，）；

（II）∵圆C上点到直线l的最大距离dmax等于圆心C到l距离和半径之和，

l的直角坐标方程为：x+y﹣1=0，

∴dmax=+r=3，

∴r=2﹣．

题型：填空题

填空题

若曲线的极坐标方程为ρ=2sin θ+4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为（）。

正确答案

（x﹣2）2+（y﹣1）2=5

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