平面直角坐标系_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（其中t为常数）．

（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；

（2）当t=-2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．

正确答案

（1）曲线M （θ为参数），即 x2=1+y，即 y=x2-1．

把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+）=t（其中t为常数）化为直角坐标方程为 x+y-t=0．

由曲线N与曲线M只有一个公共点，可得有唯一解，即 x2+x-1-t=0 有唯一解，

故有△=1+4+4t=0，解得t=-．

（2）当t=-2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=-，

故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，为 =．

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题型：简答题

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简答题

选修4-4：坐标系与参数方程已知圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ-），点M的极坐标为（6，），直线l过点M，且与圆C相切，求l的极坐标方程．

正确答案

圆C的直角坐标方程为（x-）2+（y-1）2=4．…（3分）

点M的直角坐标为（3，3），

当直线l的斜率不存在时，不合题意；

当直线的斜率存在时，设直线l的方程为；y-3=k（x-3），

圆心到直线的距离为r=2，…（6分）

因为圆心到直线l的距离 d==2，

所以k=0或k=．

故所求直线的方程为y=3或x-y-6=0，

其极坐标方程为ρsinθ=3或ρsin（-θ）=3…（10分）

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题型：填空题

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填空题

（极坐标与参数方程）已知点P（x，y）是曲线C上的点，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ-5=0，则使x-y+a≥0恒成立的实数a的取值范围为______．

正确答案

曲线C的极坐标方程为ρ2+4ρcosθ-5=0，直角坐标方程为x2+y2+4x-5=0，即（x+2）2+y2=9

∴可令x=-2+3cosθ，y=3sinθ

∴x-y+a≥0恒成立，等价于a≥-x+y恒成立，即a≥2-3cosθ+3sinθ

∵2-3cosθ+3sinθ=2+6sin（θ-）

∴（2-3cosθ+3sinθ）max=6+2

∴a≥6+2

故答案为：[6+2，+∞）

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，直线ρsinθ=与圆ρ=2cosθ相交的弦长为______．

正确答案

直线ρsinθ=的直角坐标方程为：y=，

圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为：x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1，

圆的圆心坐标为（1，0）半径为1，

圆心到直线的距离为：，所以半弦长为：．

所以弦长为：．

在极坐标系中，直线ρsinθ=与圆ρ=2cosθ相交的弦长为：．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系中，直线ρsin(θ-)=与圆ρ=2cosθ的位置关系是______．

正确答案

直线ρsin(θ-)= 即 ρsinθ-ρcosθ=，即 x-y+1=0．

圆ρ=2cosθ 即 ρ2=2ρcosθ，即 x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆．

圆心到直线的距离为 =＞1=r，故直线和圆相离，

故答案为相离．

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题型：填空题

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填空题

圆p=-4sinθ的圆心的直角坐标是______；若此圆与直线pcosθ=1相交于点M、N，则|MN|=______．

正确答案

圆p=-4sinθ的直角坐标方程是：x2+y2+4y=0，圆心的直角坐标是（0，-2）；

直线pcosθ=1的直角坐标方程是：x=1，它与圆的交点M、N则|MN|=2．

故答案为：（0，-2）、2．

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题型：填空题

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填空题

（坐标系与参数方程选做题）

若直线l的极坐标方程为ρcos(θ-)=3，曲线C：ρ=1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为______．

正确答案

直线的直角坐标方程为x+y-6=0，曲线C的方程为x2+y2=1，为圆；

d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax=+1=3+1

故答案为：3+1．

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题型：简答题

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简答题

直线（t为参数）被曲线ρ=cos(θ+)所截得的弦长为______．

正确答案

把直线（t为参数）消去参数t，化为普通方程为 3x+4y+1=0．

曲线ρ=cos(θ+) 即 ρ2=ρ（cosθ-sinθ）=ρcosθ-ρsinθ，化为直角坐标方程为 x2+y2-x+y=0，即 (x-

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2

)2+(y-

1

2

)2=，

表示以（，-）为圆心，半径等于的圆．

圆心到直线的距离为 =，故弦长为2=．

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题型：填空题

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填空题

在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，直线θ=被圆ρ=2sinθ截得的弦的长是______．

正确答案

直线θ= 即 y=x，圆ρ=2sinθ化为直角坐标方程为 x2+y2=2y，即 x2+（y-1）2=1，

表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．

圆心到直线的距离d==，故弦长为2=，

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

（选修4-4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a＞b＞0）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin(θ+)=m(m为非零常数）与ρ=b．若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为______．

正确答案

直线l的极坐标方程分别为ρsin(θ+)=m(m为非零常数）化成直角坐标方程为x+y-m=0，

它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，

又直线l与圆O：ρ=b相切，∴=b，

从而c=b，又b2=a2-c2，

∴c2=2（a2-c2），

∴3c2=2a2，∴=．

则椭圆C的离心率为．

故答案为：．

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