等差数列
共618题

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题型：填空题

填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

题型：简答题

简答题 · 12 分

设的公比不为1的等比数列，其前项和为，且成等差数列。

（1）求数列的公比；

（2）证明：对任意，成等差数列。

正确答案

见解析

解析

（1）设数列的公比为（）。

由成等差数列，得，即。

由得，解得，（舍去），所以。

（2）证法一：对任意，（lby lfx）

，

所以，对任意，成等差数列。

证法二：对任意，，

，

因此，对任意，成等差数列。

知识点

等差数列的判断与证明等差数列与等比数列的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知等比数列的公比为q，记

则以下结论一定正确的是（）

A数列为等差数列，公差为

B数列为等比数列，公比为

C数列为等比数列，公比为

D数列为等比数列，公比为

正确答案

解析

等比数列的公比为q, 同理可得,数列为等比数列，故选C

知识点

等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,,其中为实数.

（1）若,且成等比数列,证明（）;

（2）若是等差数列,证明.

正确答案

见解析。

解析

(2)∵是等差数列∴设公差为,∴带入得

∴对恒成立 ∴

由①式得 ∵ ∴ 由③式得

法二——证(1)若,则,,.

当成等比数列,,

即,得,又,故.

由此,,. 故().

(2),

. (※)

若是等差数列,则型. 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,

故有,即,而≠0,

故. 经检验,当时是等差数列.

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

设数列满足，·。

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知，当时，…

…

而，所以数列的通项公式为。

（2）由，知

…，

从而 …，

两式相减得，

即。

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 13 分

在数列中，. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列. 例如数列为的一个4项子列.

（1）试写出数列的一个3项子列，并使其为等差数列；

（2）如果为数列的一个5项子列，且为等差数列，证明：的公差满足；

（3）如果为数列的一个项子列，且为等比数列，证明：.

正确答案

见解析

解析

（1）解：答案不唯一. 如3项子列，，； …… 2分

（2）证明：由题意，知，所以 .……………… 3分

若，由为的一个5项子列，得，所以 .因为，，

所以，即.这与矛盾.所以 . 所以， …… 6分

因为，，所以，即，综上，得. ………… 7分

（3）证明：由题意，设的公比为，则 .

因为为的一个项子列，所以为正有理数，且，. 设，且互质，）.当时，因为，

所以，

所以 . ……………… 10分

当时，因为是中的项，且互质，所以，

所以 .

因为，，所以 .

综上， . ……………… 13分

知识点

等差数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

二项式的展开式的常数项是__________.（用数字作答）

正确答案

-20

解析

=，=，当则,常数项为=.

知识点

等差数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 4 分

已知数列为等差数列，若，，则的前项的和_____.

正确答案

解析

略

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

设数满足：。

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，且对任意的正整数n，都有，求实数t的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）

（2）

知识点

等差数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

(1)求f’(x)的解析式；

(2)求证：数列{an}是等差数列；

(3)求证：.

正确答案

见解析。

解析

∴数列{an}是正项等差数列，

(3)由(2)知，数列{an}是首项为1、公差为2的等差数列，

∴an=1+(n-1)×2=2n-1.

.显然。

知识点

等差数列的判断与证明

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