椭圆的定义及标准方程
共448题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知圆面C：（x﹣a）2+y2≤a2﹣1的面积为S，平面区域D：2x+y≤4与圆面C的公共区域的面积大于，则实数a的取值范围是（　　）

正确答案

解析

由题意得：

圆面C：（x﹣a）2+y2≤a2﹣1的圆心（a，0）在平面区域：2x+y＜4内，

则。

故选C。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，且椭圆的离心率.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的上下顶点分别为,是椭圆上异于的任一点,直线分别交轴于点,证明:为定值,并求出该定值；

（3）在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意：，解得：

所以椭圆

（2）由（1）可知,设,

直线:,令,得;

则,

而,所以,

所以

（3）假设存在点满足题意，则，即

设圆心到直线的距离为，则，且

所以

因为，所以，所以

所以

当且仅当，即时，取得最大值

由，解得

所以存在点满足题意，点的坐标为

此时的面积为

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（1，0）。

设M（x0，y0）（x0＜0），由点M在抛物线上，

∴，，解得，。

而点M在椭圆C1上，∴，化为，

联立，解得，

故椭圆的方程为。

（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2.设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，

把y=kx代人，可得，x2＞0，y2=﹣y1＞0，且。

，，

故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF==

=≤=。

当且仅当时上式取等号。

∴四边形AEBF面积的最大值为。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆C：的离心率，短轴长为2。

（1）求椭圆C的方程o

（2）设为椭圆C上的不同两点，已知向量，且已知O为坐标原点，试问△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由，

正确答案

见解析。

解析

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