椭圆的定义及标准方程
共448题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设､分别为椭圆的左､右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且是它的右准线。

（1）求椭圆的方程；

（2）设为右准线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于的､，证明点在以为直径的圆内，（此题不要求在答题卡上画图）

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意得解得

从而b=，

故椭圆方程为。

（2）解法1：由（1）得A（-2，0），B（2，0），设。

点在椭圆上，

。

又点异于顶点AB,

曲三点共线可得。

从面

。

将①式代入②式化简得

>0，>0.于是为锐角，从而为钝角，故点在以为直径的圆内。

解法2：由（1）得A（-2，0），B（2，0），设P（4，）（0），M（，），N（，），则直线AP的方程为，直线BP的方程为。

点M､N分别在直线AP､BP上，

=（+2），=（-2）。

从而=（+2）（-2），③

联立消去y得（27+）+4x+4（-27）=0。

，-2是方程得两根，

-2，即=， ④

又。=（-2，），（-2，）=（-2）（-2）+， ⑤

于是由③､④式代入⑤式化简可得

。=（-2）。

N点在椭圆上，且异于顶点A､B，

<0。

又，

> 0，

从而。<0。

故为钝角，即点B在以MN为直径的圆内。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心，

椭圆的短半轴为半径的圆相切。

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆与曲线的交点为、，求面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（）

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

直线与椭圆的交点在轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆的离心率为（）

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，已知椭圆C：的左.右顶点为A.B，离心率为，直线x-y+l=0经过椭圆C的上顶点，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线分别交于M，N两点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）求线段MN长度的最小值；

（3）当线段MN长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点P，使得△PAS的面积为l?若存在，确定点P的个数；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程

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