椭圆的定义及标准方程
共448题

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题型：简答题

简答题 · 14 分

设椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，过三点做.

（1）若是的直径，求椭圆的离心率；

（2）若的圆心在直线上，求椭圆的方程。

正确答案

见解析。

解析

（1）由椭圆的方程知∴设

∵是的直径，∴,

∵∴，

∴，解得：

∴椭圆的离心率

（2）解：∵过点三点，∴圆心即在的垂直平分线，也在的垂直平分线上。的垂直平分线方程为

∵的中点为，。

∴的垂直平分线方程为

由①②得：，即圆心

∵在直线上，∴

∵，∴，由，得

∴椭圆的方程为

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

设椭圆（常数）的左右焦点分别为，是直线上的两个动点，。

（1）若，求的值；

（2）求的最小值。

正确答案

见解析

解析

设， ………………………………………………………1分

则，

由得 ①………………………………………………2分

（1）由，得

② …………………………………………………1分

③ …………………………………………………1分

由①、②、③三式，消去，并求得。 ……………………………………3分

（2）解法一：易求椭圆的标准方程为：。……………………………2分

， ……4分

所以，当且仅当或时，取最小值。…2分

解法二：， ……………………………4分

所以，当且仅当或时，取最小值。 …2分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在原点，长轴在轴上，经过点，离心率。

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线：（）与椭圆在第一象限内相交于点，记，试证明：对，。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意，设椭圆的方程为（），则

，解得，，

椭圆的方程为。

（2）解，得，，所以

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知椭圆，半焦距为，且满足（其中为虚数单位），经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当时，求的值；

（3）设，延长，分别与椭圆交于两点，直线的斜率为，求证：为定值。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意可知，, ………2分

所以,

所以椭圆Γ的方程为. ………4分

（2）,设直线方程为，，

联立方程组，整理得，………6分

，

.………7分

设点到直线的距离为，则.

. ………10分

（3）设，，

直线的方程为，所以.

代入椭圆方程，消去得：. ………13分

则，且，所以.

代入直线的方程，得，所以.

同理 ………15分

因为A,F,B三点共线，所以.即.

所以而,

所以为定值. ………18分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 18 分

以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.

（1）求椭圆及其“准圆”的方程；

（2）若过点的直线与椭圆交于、两点，当时，

试求直线交“准圆”所得的弦长；

（3）射线与椭圆的“准圆”交于点，若过点的直线与椭圆都只有一个公共点，且与椭圆的“准圆”分别交于两点，试问弦是否为“准圆”的直径？若是，请给出证明；若不是，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）设椭圆的左焦点，由得，

又，即且，所以，

则所求的椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为 .

（2）依条件直线不垂直于轴，且过点，可设直线：，且与椭圆的交点，

联列方程组代入消元得：

而

由可得

由得，即

所以，则点到直线的距离为.

所以所求的弦长为.

（3）射线与椭圆的“准圆”交于点，易知过点且与椭圆只有一个交点的直线不垂直于轴，

设直线方程为，联列方程组，代入消元整理得：,

因为只有一个公共点，所以，即. 直线的斜率是关于的方程的两个根，所以，得，即

因为点在“准圆”上，所以为“准圆”的直径。

知识点

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