椭圆的定义及标准方程
共448题

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题型：简答题

简答题 · 16 分

在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆上在第一象限的点，A(2，0)，

是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

设

由题知OA＝2，，

所以四边形OAMB的面积

所以当θ＝时，四边形OAMB的面积的最大值为2。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆。

（1）设椭圆的半焦距，且成等差数列，求椭圆的方程；

（2）设（1）中的椭圆与直线相交于两点，求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知：，且，解得， ……4分

所以椭圆的方程是， …………………………5分

（2）将代入椭圆方程，得， …………………………6分

化简得， …………………………7分

设，则， …………………8分

所以，

， ………………………10分

由，…………………12分

所以的取值范围是. …………………………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上。

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线:同时与椭圆和曲线：相切，求直线的方程。

（3）直线:与椭圆交于且,求证:为定值

正确答案

见解析。

解析

（1）因为椭圆的左焦点为，所以，

点代入椭圆，得，即，

所以，

所以椭圆的方程为。

（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，

，消去并整理得，(*)

因为直线与椭圆相切，所以

整理得 ①

由直线与相切得,

即 ②

由①②得

故直线的方程为。

（3）设

由(*)式得

代入并整理得

可得

知识点

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题型：简答题

简答题 · 17 分

已知椭圆的左、右焦点依次为，，点是椭圆的一个顶点，。

（1）求椭圆的方程；

（2）设是点关于点的对称点，在椭圆上是否存在两点，使，若存在，求出这两点，若不存在，请说明理由；

（3）斜率为的直线经过点，该直线交椭圆于两点，试在轴上找一点，

使.

正确答案

见解析

解析

（1）由已知可得，所求椭圆方程为，（4分）

（2）解法一：可求得、、的坐标分别为

设在椭圆上存在两点、，使，

则：（6分）

解（8分）

得：，所以在椭圆上存在两点，

使. （10分）

解法二：可求得、、的坐标分别为

设在椭圆上存在两点，使，则四边形是平行四边形，且点关于点对称；（6分）

由椭圆的对称性可知，轴，且过点；解（8分）

得：，所以在椭圆上存在两点，

使. （10分）

（3）直线的方程为.由消去整理得，

设，线段的中点为，的坐标为,则 . 所以，，即的坐标为（14分）

由条件知，所以（16分）

所以的坐标为. （17分）

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若平行于的直线在轴上的截距为，直线交椭圆于两个不同点，直线与的斜率分别为，求证：。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设椭圆的方程为

将代入椭圆的方程，得 ………理2分，文3分

解得，所以椭圆的方程为 …………理2分，文3分

设点的坐标为，则。

又是上的动点，所以，得，代入上式得

，

故时，。的最大值为。 ………………理2分

（2）因为直线平行于，且在轴上的截距为，又，所以直线的方程为，由得 ………………文理2分

设、，则。

又

故，………文理2分

又，

所以上式分子 …………文理2分

故，………………………………………………………………文2分

所以直线与直线的倾斜角互补。

知识点

椭圆的定义及标准方程

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