椭圆的定义及标准方程
共448题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一动点，圆与的延长线、的延长线以及线段相切，若为一个切点，则（）

D与2的大小关系不确定

正确答案

解析

设圆C与直线的延长线、分别相切于点则由切线的性质可知：故选B。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

已知椭圆C：的离心率，一条准线方程为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设G，H为椭圆上的两个动点，O为坐标原点，且OG⊥OH。

①当直线OG的倾斜角为60°时，求△GOH的面积；

②是否存在以原点O为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线GH相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）因为椭圆的离心率，一条准线方程为。

所以，，a2=b2+c2，

解得，

所以椭圆方程为，

（2）①由，解得，

由得，

所以，所以，

②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为R，则OG•OH=R•GH

因为OG2+OH2=GH2，故，

当OG与OH的斜率均存在时，不妨设直线OG方程为：y=kx，与椭圆方程联立，可得，

∴

同理可得

∴，∴R=

当OG与OH的斜率有一个不存在时，可得

故满足条件的定圆方程为x2+y2=。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”。

如图，“盾圆”是由椭圆与抛物线中两段曲线弧合成，为椭圆的左、右焦点，，为椭圆与抛物线的一个公共点，。

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过的一条直线，与“盾圆”依次交于四点，使得与的面积比为？若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由的准线为，，故记

又，所以，故椭圆为， 4分

（2）设直线为，

联立，得，则 ①

联立，得，则 ②

8分

与的面积比

整理得 12分

若，由②知坐标为，不在“盾圆”上；

同理也不满足，故符合题意的直线不存在， 14分

知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 15 分

已知椭圆：和圆：，分别是椭圆的左、右两焦点，过且倾斜角为的动直线交椭圆于两点，交圆于两点（如图所示，点在轴上方），当时，弦的长为。

（1）求圆与椭圆的方程；

（2）若点是椭圆上一点，求当成等差数列时，面积的最大值.

正确答案

见解析。

解析

（1）

取PQ的中点D，连OD，OP

由，，知

椭圆C的方程为：，，

（2）设，

，

的长成等差数列，

设，由得，

，，.

易求得椭圆上一点到直线的距离的最大值是，所以的面积的最大值是.

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B，C是椭圆+=1（a＞b＞0）上不同的三点，A（3，），B（﹣3，﹣3），C在第三象限，线段BC的中点在直线OA上。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）求点C的坐标；

（3）设动点P在椭圆上（异于点A，B，C）且直线PB，PC分别交直线OA于M，N两点，证明•为定值并求出该定值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知，得，解得

∴椭圆的标准方程为，

（2）设点C（m，n）（m＜0，n＜0），则BC中点为（，）。

由已知，求得直线OA的方程为x﹣2y=0，从而m=2n﹣3.①

又∵点C在椭圆上，∴m2+2n2=27.②

由①②，解得n=3（舍），n=﹣1，从而m=﹣5.

∴点C的坐标为（﹣5，﹣1），

（3）证明：设P（x0，y0），M（2y1，y1），N（2y2，y2）。

∵P，B，M三点共线，∴，整理，得y1=，

∵P，C，N三点共线，∴，整理，得，

∵点C在椭圆上，∴，∴=27﹣。

从而y1y2==3×=，

∴•=5y1y2=，

∴•为定值，定值为。

知识点

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