椭圆的定义及标准方程
共448题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于A，B两点，若△FAB的周长最大时，△FAB的面积为ab，则椭圆的离心率为　　。

正确答案

解析

设椭圆的右焦点E，如图：

由椭圆的定义得：△FAB的周长为：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；

∵AE+BE≥AB；

∴AB﹣AE﹣BE≤0，当AB过点E时取等号；

∴△FAB的周长：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；

∴△FAB的周长的最大值是4a；

此时，△FAB的面积为×2c×=ab，

∴a2=2bc，平方得，

a4=4（a2﹣c2）c2

即4e4﹣4e2+1=0

∴e=。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结。

（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）若，求椭圆离心率e的值。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵，∴

∵，∴，∴

∴椭圆方程为

（2）设焦点

∵关于x轴对称，∴

∵三点共线，∴，即①

∵，∴，即②

①②联立方程组，解得 ∴

∵C在椭圆上，∴，

化简得，∴, 故离心率为

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

如图，圆O与离心率为的椭圆T：（a＞b＞0）相切于点M（0，1）。

（1）求椭圆T与圆O的方程；

（2）过点M引两条互相垂直的两直线l1、l2与两曲线分别交于点A、C与点B、D（均不重合）。

①若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1、d2，求的最大值；

②若，求l1与l2的方程。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意知：，b=1。

又a2=b2+c2，所以a2=c2+1，

联立，解得a=2，c=

所以椭圆C的方程为，圆O的方程x2+y2=1；

（2）①设P（x0，y0）因为l1⊥l2，则，

因为，所以=，

因为﹣1≤y0≤1，所以当时，取得最大值为，此时点。

②设l1的方程为y=kx+1，

由，得：（k2+1）x2+2kx=0，由xA≠0，所以，

代入y=kx+1得：。

所以。

由，得（4k2+1）x2+8kx=0，由xC≠0，所以，

代入y=kx+1得：。

所以。

把A，C中的k置换成可得，

所以，

，

由，

得

=，

整理得：，即3k4﹣4k2﹣4=0，解得。

所以l1的方程为，l2的方程为

或l1的方程为，l2的方程为。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知圆的半径为3，直径上一点使为另一直径的两个端点，则___▲__。

正确答案

-8

解析

∵，且，

∴，

又，∴，∴，故。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆C:，经过点,离心率 ,直线的方程为 .

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线l与直线AB相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

正确答案

见解析

解析

解析：（1）由点在椭圆上得， ① ②

由 ①②得，故椭圆的方程为.......4分

（2）假设存在常数，使得.

由题意可设 ③

代入椭圆方程并整理得

设，则有 ④......6分

在方程③中，令得，，从而

.又因为共线，则有，

即有

所以

= ⑤

将④代入⑤得，又，

所以

故存在常数符合题意......12分

知识点

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