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题型:简答题
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简答题 · 16 分

22.如图已知椭圆的左、右两个焦点分别为,设,若为正三角形且周长为

(1)求椭圆的标准方程;

(2)已知垂直于轴的直线交椭圆于不同的两点,且分别为椭圆的左顶点和右顶点,设直线交于点,求证:点在双曲线上;

(3)在的条件下,过点作斜率为的直线,设原点到直线的距离为,求的取值范围。

正确答案

(1)由题设得

解得:

的方程为

(2)证明:

直线的方程为    ②

①×②,得    ③

代入③得,即

因为点是直线的交点,所以

即点在双曲线

(3)设直线

结合第(2)问的结论,整理得:

所以的取值范围是

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的几何性质
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的焦距为2,过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为,O为坐标原点.

(1)求椭圆W的方程.

(2)设斜率为的直线l与W相交于两点,记面积的最大值为,证明:.

正确答案

见解析

解析

(1)解:由题意,得椭圆W的半焦距,右焦点,上顶点,…… 1分

所以直线的斜率为, 解得 ,……………… 3分     由 ,得

所以椭圆W的方程为.……………… 5分

(2)证明:设直线l的方程为,其中或2,.… 6分

由方程组 得,……………… 7分    所以 ,(*)由韦达定理,得, . …………… 8分

所以 . …… 9分

因为原点到直线的距离,……………… 10分

所以 ,         ……………… 11分

时,因为, 所以当时,的最大值,验证知(*)成立;… 12分

时,因为,所以当时,的最大值;验证知(*)成立.

所以 .…………… 14分      注:本题中对于任意给定的的面积的最大值都是.

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知椭圆的长轴在轴上,焦距为,则等于 (    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知中心在原点O,焦点F1、F2在x轴上的椭圆E经过点C(2,2),且抛物线的焦点为F1

(1)求椭圆E的方程;

(2)垂直于OC的直线ι与椭圆E交于A、B两点,当以AB为直径的圆P与y轴相切时,求直线ι的方程和圆P的方程。

正确答案

见解析。

解析

(1)设椭圆E的方程为

,

  ②

  ③

由①、②、③得a2=12,b2=6

所以椭圆E的方程为

(2)依题意,直线OC斜率为1,由此设直线ι的方程为y=-x+m,

代入椭圆E方程,得……6分

当m=3时,直线ι方程为y=-x+3,此时,x1 +x2=4,圆心为(2, 1),半径为2,

圆P的方程为(x-2)2+(y-1)2=4;

同理,当m=-3时,直线ι方程为y=-x-3,

圆P的方程为(x+2)2+(y+1)2=4;

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,一个顶点为,且其右焦点到直线的距离为3.

(1)求椭圆方程;

(2)设直线过定点,与椭圆交于两个不同的点,且满足,求直线的方程.

正确答案

见解析。

解析

(1)设椭圆方程为,则b=1。

设右焦点F(c,0)(c>0),则由条件得,得

则a2=b2+c2=3,

∴椭圆方程为

(2)若直线l斜率不存在时,直线l即为y轴,此时M,N为椭圆的上下顶点,|BN|=0,|BM|=2,不满足条件;

故可设直线l:,与椭圆联立,消去y得:

,得

设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),

由韦达定理得,而

由|BN|=|BM|,则有BP⊥MN,

可求得,检验,所以k=

所以直线l的方程为

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知,分别是椭圆的左、右焦点,关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。

(1)求圆的方程;

(2)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为,.当最大时,求直线的方程。

正确答案

见解析。

解析

(1) 先求圆C关于直线x + y – 2 = 0对称的圆D,由题知圆D的直径为直线

对称.

(2)由(1)知(2,0), ,据题可设直线方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线可被圆和椭圆截得2条弦,符合题意.

圆C:到直线的距离. .

由椭圆的焦半径公式得:

.

所以当

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,已知椭圆的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆,设圆与椭圆交于点与点

(1)求椭圆的方程;

(2)求的最小值,并求此时圆的方程;

(3)设点是椭圆上异于,的任意一点,且直线分别与轴交于点为坐标原点,求证:为定值,

正确答案

见解析。

解析

(1)

故椭圆的方程为 ,

(2)点与点关于轴对称,设, 不妨设

由于点在椭圆上,所以,     (*)

由已知,则

 

由于,故当时,取得最小值为

由(*)式,,又点在圆上,代入圆的方程得到

故圆的方程为:

(3)

知识点

向量在几何中的应用圆的标准方程椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知是椭圆的左、右焦点,且离心率,若点P为椭圆C上的一个动点,且的最大值为4.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点,在x轴上是否存在点,使得以PM、PN为邻边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果不存在,请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,椭圆的离心率为,直线所围成的矩形ABCD的面积为.

(1)求椭圆M的标准方程;

(2)设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点,求的最大值及取得最大值时m的值。

正确答案

见解析。

解析

(1)……①

矩形ABCD面积为8,即……②

由①②解得:

∴椭圆M的标准方程是.

(2)

,则

.

.

点时,,当点时,.

①当时,有

其中,由此知当,即时,取得最大值.

②由对称性,可知若,则当时,取得最大值.

③当时,

由此知,当时,取得最大值.

综上可知,当和0时,取得最大值. Ks5u

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

分别是椭圆C:的左右焦点.

(1)设椭圆C上的点两点距离之和等于,写出椭圆C的方程;

(2)设过(1)中所得椭圆上的焦点且斜率为1的直线与其相交于,求的面积;

(3)设点P是椭圆C 上的任意一点,过原点的直线与椭圆相交于M,N两点,当直线PM ,PN的斜率都存在,并记为试探究的值是否与点P及直线有关,并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

(1)由于点在椭圆上,所以

解得

故椭圆C的方程为

(2)由(1)知椭圆C的左右焦点坐标分别为

所以, 过椭圆的焦点且斜率为1的直线方程为

将其代入,整理得,解得

时,,当时,

所以的面积:

(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称,设,

,,得

两式相减得

又∵,∴

故:的值与点P的位置无关,同时与直线无关.

知识点

椭圆的定义及标准方程
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