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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,),且长轴长与短轴长的比是2:

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,点P是椭圆上任意一点,若当最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点上,求实数m的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)设椭圆的方程为.

由题意有:

解得.

故椭圆的方程为.

(2)设为椭圆上的动点,由于椭圆方程为,故.

因为,所以

因为当最小时,点恰好落在椭圆的右顶点,即当时,

取得最小值,而
故有,解得,                               
又点在椭圆的长轴上,即,             
故实数的取值范围是

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆是椭圆的左右焦点,且椭圆经过点.

(1)求该椭圆方程;

(2)过点且倾斜角等于的直线,交椭圆于两点,求的面积.

正确答案

(1)(2)

解析

(1),则椭圆方程为.

(2)设,直线.

.

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 15 分

已知可行域的外接圆C与x轴交于点A1、A2,椭圆C1以线段A1A2为长轴,离心率

(1)求圆C及椭圆C1的方程;

(2)设椭圆C1的右焦点为F,点P为圆C上异于A1、A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明。

正确答案

见解析

解析

(1)由题意可知,可行域是以及点为顶点的三角形,

,∴为直角三角形,

∴外接圆C以原点O为圆心,线段A1A2为直径,故其方程为

∵2a=4,∴a=2,又,∴,可得

∴所求椭圆C1的方程是

(2)直线PQ与圆C相切,设,则

时,,∴

时,

∴直线OQ的方程为,因此,点Q的坐标为

∴当时,

时候,,∴

综上,当时候,,故直线PQ始终与圆C相切。

知识点

二元一次不等式(组)表示的平面区域圆的标准方程直线与圆的位置关系椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆过点和点

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,是否存在实数,使得?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)因为椭圆过点和点

所以,由,得

所以椭圆的方程为,……………5分

(2)假设存在实数满足题设,

 得

因为直线与椭圆有两个交点,所以,即 。      ①

设MN的中点为分别为点的横坐标,

,从而

所以

因为,所以

,而,所以

,此与 ① 矛盾。

因此,不存在这样的实数,使得,…………………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.

(1)求椭圆的方程;

(2)过焦点斜率为()的直线交椭圆两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)依题设,则.

,解得,所以.所以椭圆的方程为.

(2)依题直线的方程为.由.设,,弦的中点为,则,所以.直线的方程为,令,得,则.若四边形为菱形,则.所以.若点在椭圆上,则.整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形。

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,已知点为椭圆的右焦点,圆,与椭圆的一个公共点为,且直线与圆相切于点.

(1)求的值及椭圆的标准方程;

(2)设动点满足,其中M、N是椭圆上的点,为原点,直线OM与ON的斜率之积为,求证:为定值.

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意可知,又. 又.

中,

故椭圆的标准方程为:

(2)设,   ,

∵M、N在椭圆上, ∴

又直线OM与ON的斜率之积为, ∴

于是

. 为定值。

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

椭圆上存在一点P,使得它对两个焦点的张角,则该椭圆的离心率的取值范围是                                               (    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆的左焦点为,其左、右顶点为,椭圆与轴正半轴的交点为的外接圆的圆心在直线上。

(1)求椭圆的方程;

(2)已知直线是椭圆上的动点,,垂足为,是否存在点,使得为等腰三角形?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)由题意知,圆心既在的垂直平分线上,也在的垂直平分线上,

的坐标为,则的垂直平分线方程为………①

因为的中点坐标为的斜率为

所以的垂直平分线的方程为…②

联立①②解得:,即

因为在直线上。所以

。因为,所以

再由求得,所以椭圆的方程为

(2)由(1)知:,椭圆上的点横坐标满足

,由题意得

①          若,即

联立,解得,显然不符合条件。

,即

联立,解得:。(显然不符合条件,舍去)

所以满足条件的点的坐标为

③若,即

解得。(显然不符合条件,舍去)

此时所以满足条件的点的坐标为

综上,存在点,使得为等腰三角形。

知识点

椭圆的定义及标准方程
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知椭圆的长轴在轴上,焦距为,则等于 (    )

A8

B7

C6

D5

正确答案

A

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的左右顶点分别为,离心率

(1)求椭圆的方程;

(2)若点为曲线:上任一点(点不同于),直线与直线交于点为线段的中点,试判断直线与曲线的位置关系,并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意可得,   ∴

所以椭圆的方程为

(2)曲线是以为圆心,半径为2的圆。

,点的坐标为

三点共线,     ∴

,则

∴点的坐标为,点的坐标为

∴直线的斜率为

,∴

∴直线的方程为,化简得

∴圆心到直线的距离

所以直线与曲线相切。

知识点

椭圆的定义及标准方程
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