椭圆的定义及标准方程
共448题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值．

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知椭圆的离心率为，过顶点的直线与椭圆相交于两点。

（1）求椭圆的方程；

（2）若点在椭圆上且满足，求直线的斜率的值。

正确答案

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知识点

向量在几何中的应用直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为且焦距为.点为椭圆上的一个动点，当垂直于轴时，恰好.已知直线与圆：相切，且与椭圆相交于两点，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程；

（2）探究是否为定值，若是，求出的值；若不是，请说明理由.

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线与椭圆C交与不同的两点M,N

（1）求椭圆C的方程

（2）当△AMN的面积为时，求k的值.

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

12. 椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则的大小为________，的面积为_________ .

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好经过抛物线的准线，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线的方程为．是经过椭圆左焦点的任一弦，设直线与直线相交于点，记的斜率分别为．试探索之间有怎样的关系式？给出证明过程．

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知二次曲线Ck的方程：．

（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；

（2）若双曲线Ck与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程

正确答案

（1）当且仅当，即时，方程表示椭圆；

当且仅当，即时，方程表示曲线。

（2）解法一：由化简得：

，即（舍），

∵双曲线实轴最长，

∴取最小值6时，9-最大即双曲线实轴最长，

此时双曲线方程为。

解法二：若表示双曲线；则，不妨设双曲线方程为，

联立得，

∵与直线有公共点，

∴，∴（舍）

∴实轴最长的双曲线方程为。

解法三：不妨先求得关于直线的对称点，

设直线与双曲线左支交点为M，则

∴，

∴实轴最长的双曲线方程为。

解法四：设双曲线与直线公共点为

则有解，即有解，

∴，

∴

∴实轴最长的双曲线方程为。

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知识点

椭圆的定义及标准方程双曲线的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

19. 已知椭圆:的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）当的面积为时，求的值.

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

19.已知椭圆的右顶点，离心率为，为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，求的取值范围.

正确答案

解：（Ⅰ）因为是椭圆的右顶点，所以 .

又，所以 .

所以 .

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）当直线的斜率为0时，，为椭圆的短轴，则.

所以 .

当直线的斜率不为0时，

设直线的方程为，，

则直线DE的方程为.

由得.

即.

所以

所以 .

即 .

类似可求.

所以

设则，.

令，则.

所以是一个增函数.

所以 .

综上，的取值范围是.

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知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．半径不等的两定圆、无公共点（、是两个不同的点），动圆与圆、都内切，则圆心轨迹是（）

A双曲线的一支

B椭圆或圆

C双曲线的一支或椭圆或圆

D双曲线一支或椭圆

正确答案

解析

设定圆、的半径分别为、，不妨设，由于两定圆、无公共点，则圆、相离或内含，设动圆的半径为，则，，

若定圆、相离，则，则定圆、同时内切于动圆，则，，则，，则，此时动点的轨迹是双曲线的一支；

若定圆内含于圆，则，此时动圆内切于定圆，定圆内切于动圆，则，则，，，此时动点的轨迹是椭圆，故选D.

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