椭圆的定义及标准方程
共448题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

11．圆上的动点到直线的距离的最大值=___________.

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为，在轴的负半轴上有一点，且．

（Ⅰ）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点（，0），使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

正确答案

（Ⅰ）由题意得，所以.

又,于，所以为的中点，

所以,

所以的外接圆圆心为，半径

又过三点的圆与直线相切，

,答案得，.

故所求椭圆方程为

（Ⅱ）由（）知,设的方程为：，

椭圆联立方程得，即.

设交点为，因为，

则

若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，

由于菱形对角线垂直，所以.

，

又的方向向量是，故，

，即，

由已知条件知，

，故存在满足题意的点且的取值范围是

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知识点

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题型：简答题

简答题 · 15 分

22．如图已知，椭圆的左．右焦点分别为．，过的直线与椭圆相交于A、B两点。

（Ⅰ）若，且，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若求的最大值和最小值。

正确答案

解：（I），

，

（II），.

①若垂直于轴，则，

②若AB与轴不垂直，设直线的斜率为，

则直线的方程为

由消去y得：

，方程有两个不等的实数根。设，.

，

∴

综合①、②可得：。所以当直线垂直于时，取得最大值；当直线与轴重合时，取得最小值

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知识点

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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知椭圆C：，其短轴的端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆C交于E，F两点，其中点M （m，）满足，且．

（Ⅰ）用m表示点E，F的坐标；

（Ⅱ）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关．

正确答案

（Ⅰ），M （m，），且，

直线AM的斜率为k1=，直线BM斜率为k2=，

直线AM的方程为y=，

直线BM的方程为y=，

得，

由

得，

；

（Ⅱ）据已知，，

直线EF的斜率

直线EF的方程为，

令x=0，得

EF与y轴交点的位置与m无关

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．设椭圆的左、右焦点分别是F1和F2 ，离心率，点F2到右准线的距离为.

（1）求的值；

（2）设M、N是右准线上两动点，满足当取最小值时，求证：M，N两点关于轴对称

正确答案

（1）因为,F2到l的距离,

所以由题设得

解得

由

(Ⅱ)由,a=2得l的方程为.

故可设

由知

得 ,所以y1y20,,

当且仅当时，上式取等号，此时。

即M，N两点关于轴对称

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椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．椭圆的左焦点为F，若F关于直线的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（）

正确答案

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题型：填空题

填空题 · 4 分

15．已知圆C1： (x＋1)2＋y2＝1和圆C2： (x－1)2＋y2＝25，则与C1外切而又与C2内切的动圆圆心P的轨迹方程是___________

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 14 分

22．从椭圆(a>b>0)上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM．

（I）求椭圆的离心率；

（II）若b=2，设Q是椭圆上任意一点，F2是右焦点，求△F1QF2的面积的最大值；

（III）当QF2AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若△F1PQ的面积为20(Q是椭圆上的点)，求此椭圆的方程。

正确答案

（I），

因为，

所以，所以

所以

（II）

（III），设椭圆方程为，

与直线联立可得

．

所以，所以椭圆方程为．

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椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

10．已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线与椭圆C相交于A．B两点，若。则（）

正确答案

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题型：简答题

简答题 · 12 分

20. 已知椭圆的离心率为，且过点过点C（-1，0）且斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若线段AB的中点的横坐标为，求斜率的值；

（Ⅲ）在轴上是否存在点M，使是与无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

正确答案

（Ⅰ）∵椭圆离心率为，.

又椭圆过点（，1），代入椭圆方程，得.所以.

∴椭圆方程为，即.

（Ⅱ） ∵直线L过点C（-1，0）且斜率为K,

则设直线方程为，

由得.

若上式是与K无关的常数，则6m-1=0，∴，

即在x轴上存在点M（，0）使是与K无关的常数.

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