椭圆的定义及标准方程
共448题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．

Ⅰ.求椭圆的方程；

Ⅱ.设过点的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足为坐标原点. ，当时，求实数的取值范围．

正确答案

略。

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆C：的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点Q（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点，设点A关于x轴的对称点为。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：填空题

填空题 · 4 分

13．设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为________ 。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

16. 已知O为锐角ABC的外心，AB=6，AC=10，，且，则边BC的长为 _______

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知抛物线的焦点以及椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆上．

（1）求抛物线和椭圆的标准方程；

（2）过点的直线交抛物线于两不同点，交轴于点，已知，，求的值；

（3）直线交椭圆于、两个不同点，、在轴的射影分别为、，且，若点满足，证明：点在椭圆上。

正确答案

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知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．将圆轴正方向平移1个单位后得到圆C，若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为（）

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知以原点O为中心的椭圆，它的短轴长为，右焦点（c>0），它的长轴长为2a（a>c>0），直线与x轴相交于点A，，过点A的直线与椭圆相交于P．Q两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；

（Ⅱ）若，求直线PQ的方程。

正确答案

（Ⅰ）解：由题意，可知椭圆的方程为．

由已知得

解得，c=2，

所以椭圆的方程为，离心率．

（Ⅱ）解：由（1）可得A（3，0）．

设直线PQ的方程为y=k（x－3）．

联立方程组，得（3k2+1）x2－18k2x+27k2－6=0，

依题意△=12（2－3k2）>0，得．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则

， ①

． ②

由直线PQ的方程得为y1=k（x1－3），y2=k（x2－3），

于是，y1y2=k2（x1－3）（x2－3）= k2[x1x2－3（x1+ x2）+9]．、 ③

∵，∴x1x2+y1y2=0． ④

由①②③④得5k2=1，从而．

所以直线PQ的方程为或．

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.椭圆C: 的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1.

（I）求椭圆C的方程；

（II）设椭圆C的左，右顶点分别为A，B ,点P是直线上的动点，直线PA与椭圆的另一交点为M，直线PB与椭圆的另一交点为N,求证：直线MN经过一定点。

正确答案

（Ⅰ）

依题意　，

过焦点Ｆ与长轴垂直的直线ｘ＝ｃ与椭圆

联立解答弦长为＝１，

所以椭圆的方程.

（Ⅱ）设Ｐ（１，ｔ）

，直线，联立得：

即，

可知所以，

则

同理得到

由椭圆的对称性可知这样的定点在轴，

不妨设这个定点为Ｑ，

又，　　　　，

，，.

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椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

14．设、、是椭圆上不同的三个点,且、连线经过坐标原点,若直线、的斜率之积为,则该椭圆的离心率为_________．

正确答案

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椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

6．、是椭圆的左、右焦点，是该椭圆短轴的一个端点，直线与椭圆交于点，若成等差数列，则该椭圆的离心率为（）

正确答案

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