热门试卷

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难类型，主要在于计算，具体解析如下：

（Ⅰ）设椭圆的右焦点，则

由题意，以椭圆的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为，

∴圆心到直线的距离

（*）

∵椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，

∴,， 代入（*）式得，，

故所求椭圆方程为

（Ⅱ）（i）设，则，

于是

（ii）方法一由（i）知，，故．

所以，

即，所以，．

又，故．

所以，OB2+OC2 ．

方法二由（i）知，．将直线方程代入椭圆中，

得．同理，．

所以，．

下同方法一

（Ⅰ）因为椭圆的左顶点在圆上，所以.

又离心率为，所以，所以,

所以,   所以的方程为.

（Ⅱ）设直线AP的方程为

因为圆心到直线的距离为，

所以.

因为，

将直线与椭圆方程联立：

得到

因为已知有一根为-4，所以另一根为，得到

代入得到

.

显然，所以不存在直线，使得.

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

（1）因为椭圆,由题意得

,  ，，

解得

∴　椭圆的方程为

（2）因为，所以有，即两条射线OA、OB互相垂直．

当直线AB斜率不存在时，容易求出直线AB的方程为，此时原点与直线AB的距离；

当直线AB斜率存在时，设，直线AB的方程为

解方程组得,

即,

则△=,即

因为，所以有

∴   

∴   ,

所以

∴

∴  O到直线AB的距离

综上：O到直线AB的距离为定值.