椭圆的定义及标准方程
共448题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：简答题

简答题 · 12 分

21.已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

（I）当时，求的面积

(II) 当2时，证明：.

正确答案

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆C的中心在坐标原点O，左焦点为F(-l，0)，离心率为

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F的直线，与椭圆C交于A、B两点，设（其中1<入<3），求的取值范围，

正确答案

（1）；（2）．

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

（1）；

（2）由（其中1<入<3）知，直线l不水平，设l：x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2)

联立：消x得：(2+m2)y2-2my-1=0,得①

由（其中1<入<3）得y1= -λy2……② 则，

令t=,则0<t<,得……③。

=x1x2+y1y2=(my1-1)(my2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-m(y1+y2)+1=，

将③代入，得=，从而∈。

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系、平面向量等知识点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

（1）利用e和c求a,b。

（2）联立直线与椭圆方程求解。

易错点

（1）第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

平面向量数量积的运算椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．已知椭圆C：，其右焦点，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知直线与椭圆C交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围．

正确答案

见解析

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论．

试题解析：（Ⅰ）由题可知，又，故

所以椭圆的标准方程为

（Ⅱ）联立方程消去整理得：

则，解得，

设，则，

即的中点为

又的中点不在圆内，所以，解得或

综上可知，或

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及综合应用，属于高考中的高频考点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

（1）利用e及对称性求a,b。

（2）联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与椭圆的位置关系圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 16 分

18. 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一动点的直线，过F2与x轴垂直的直线记为，右准线记为；

①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值。

②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知，则 ,又可得 ,

所以椭圆C的标准方程为.

（2）①M N

②点（），点Q，

∵，，

∴==．

∵点P在椭圆C上， ∴，

∴==．

∵，

∴．

∴的取值范围是．

考查方向

本题考查了椭圆方程的求法，离心率，圆方程等知识的运用，定值的求法，斜率的表示方法等。

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

（1）根据离心率和几何特点，求出椭圆方程

（2）表示M，N进而得

（3）表示,进而得的取值范围．

易错点

点M，N表示不当

知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：填空题

填空题 · 17 分

正确答案

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题

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