椭圆的定义及标准方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

19. 设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.

试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，学.科网所以椭圆的方程为.

（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，

设，由方程组消去，

整理得，解得或，

由题意得，从而，

由（1）知，设，有，，

由，得，所以，

解得，因此直线的方程为，

设，由方程组消去，得，

在中，，

即，化简得，即，

解得或，

所以直线的斜率为或.

考查方向

椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。P为C上一点，且PF⊥x轴。过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A

B

C

D

正确答案

A

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上。

25.求椭圆E的方程；

26.设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（I）由已知，a=2b.

又椭圆过点，故，解得.

所以椭圆E的方程是.

考查方向

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程

解题思路

由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是正三角形的三个顶点可得，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用在椭圆上，可解出b的值，从而得到椭圆的标准方程；

易错点

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题，联立化简易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(Ⅱ)设直线的方程为，

由方程组得

判别式为，由，即，解得

由根与系数的关系可得

所以点的坐标为，直线的方程为

联立可得得

所以.

又

.

所以.

解析

(Ⅱ)设直线的方程为，

由方程组得

判别式为，由，即，解得

由根与系数的关系可得

所以点的坐标为，直线的方程为

联立可得得

所以.

又

.

所以.

考查方向

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题时，一般都设交点坐标为，同时把直线方程与椭圆方程联立，消元后，可得，再把用表示出来，并代入刚才的，这种方法是解析几何中的“设而不求”法．可减少计算量，简化解题过程

解题思路

（Ⅱ）首先设出直线方程为，同时设交点，把方程与椭圆方程联立后消去得的二次方程，利用根与系数关系，得，由求得（用表示），由方程具体地得出坐标，也可计算出，从而证得相等．

易错点

本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的思想.在涉及到直线与椭圆（圆锥曲线）的交点问题，联立化简易出错。

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是 .

正确答案

知识点

椭圆的定义及标准方程

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题型：填空题

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填空题 · 14 分

已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.

（I）求椭圆C的方程及离心率；

（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

正确答案

解：（I）由题意得，，．

所以椭圆的方程为．

又，

所以离心率．

（II）设（，），则．

又，，所以，

直线的方程为．

令，得，从而．

直线的方程为．

令，得，从而．

所以四边形的面积

．

从而四边形的面积为定值．

知识点

椭圆的定义及标准方程

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.

（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

正确答案

(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .

解析

试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b即得.

(Ⅱ)(i)设，

由M(0,m)，可得

得到直线PM的斜率，直线QM的斜率.证得.

(ii)设，

直线PA的方程为y=kx+m，

直线QB的方程为y=-3kx+m.

联立，

整理得.

应用一元二次方程根与系数的关系得到，

，

得到

应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，

由题意知，

所以，

所以椭圆C的方程为.

(Ⅱ)(i)设，

由M(0,m)，可得

所以直线PM的斜率，

直线QM的斜率.

此时，

所以为定值-3.

(ii)设，

直线PA的方程为y=kx+m，

直线QB的方程为y=-3kx+m.

联立，

整理得.

由可得，

所以，

同理.

所以，

，

所以

由，可知k>0，

所以，等号当且仅当时取得.

此时，即，符号题意.

所以直线AB 的斜率的最小值为 .

考查方向

椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系；基本不等式.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 12 分

已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

（I）当时，求的面积

(II) 当2时，证明：.

正确答案

（Ⅰ）设，则由题意知.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，

又，因此直线的方程为.

将代入得，

解得或，所以.

因此的面积.

（2）将直线的方程代入得

.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得.

由得，即.

设，则是的零点，，

所以在单调递增，又，

因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 13 分

已知椭圆E：+=1(a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

正确答案

（I）由已知，a=2b.

又椭圆过点，故，解得.

所以椭圆E的方程是.

（II）设直线l的方程为，，

由方程组得，①

方程①的判别式为，由，即，解得.

由①得.

所以M点坐标为，直线OM方程为，

由方程组得.

所以.

又

.

所以.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是 .

正确答案

知识点

椭圆的定义及标准方程

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意设直线的方程为，分别令与得点，

，由，得，即，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A．

考查方向

本题主要考查了椭圆方程与几何性质等知识，为高考题的必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高

解题思路

由题意设直线的方程为，分别令与得点，由，得

易错点

对椭圆方程与几何性质理解出现错误、计算错误

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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