椭圆的定义及标准方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

如图,由题意得在椭圆中,[来源:学科网]

在中,,且,代入解得

,所以椭圆得离心率得,故选B.

考查方向

椭圆的几何性质

解题思路

求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c的齐次方程,方程两边同时除以a的最高次幂,转化为关于e的方程,解方程求e .

易错点

如何由a、c的方程转化成有关e的方程

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.如图，在平面直角坐标系中，是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于两点，且，则该椭圆的离心率是．

正确答案

；

解析

由题意得，直线与椭圆方程联立可得，，

由可得，，，

则，由可得，则．

考查方向

椭圆离心率

解题思路

设出各点坐标，根据向量数量积，列出方程，得到关于a，c的方程，求出e。

易错点

设点求解时正确建立方程关系。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

（I）当时，求的面积

(II) 当2时，证明：.

正确答案

（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.

解析

（Ⅰ）先求直线的方程，再求点的纵坐标，最后求的面积；（Ⅱ）设，，将直线的方程与椭圆方程组成方程组，消去，用表示，从而表示，同理用表示，再由求.

试题解析：（Ⅰ）设，则由题意知.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，

又，因此直线的方程为.

将代入得，

解得或，所以.

因此的面积.

（2）将直线的方程代入得

.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得.

由得，即.

设，则是的零点，，

所以在单调递增，又，

因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.

考查方向

椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，导数应用，零点存在性定理。

解题思路

（I）判断三角形ADM为等腰直角三角形，表示M坐标，并求解，然后求面积(II)直线AM，AN是过同一点互相垂直的直线，先用直线AM与椭圆相交，直曲联立求出M点横坐标，从而表示,同理表示，然后代入2构造函数用导数研究单调性，并用零点存在性定理。

易错点

构造函数用导数研究单调性，并用零点存在性定理

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中为原点，为椭圆的离心率.

24.求椭圆的方程；

25.设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）

解析

本题主要考察了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识点，属于拔高题，不容易得分。解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．本题只有熟练掌握相关知识点，并能够灵活运用这些知识点，才能够得分，具体解体过程如下：

试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，直线方程等知识点。

解题思路

（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，

易错点

第二问不知如何处理已知条件导致本题没思路。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）

解析

本题主要考察了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识点，属于拔高题，不容易得分。解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．本题只有熟练掌握相关知识点，并能够灵活运用这些知识点，才能够得分，具体解体过程如下：

（2）设直线的斜率为，则直线的方程为，

设，由方程组消去，

整理得，解得或，

由题意得，从而，

由（1）知，设，有，，

由，得，所以，解得，因此直线MH的方程为，设，由方程组消去y，得，在三角形中，，

即，化简得，即

解得或，

所以直线的斜率为或.

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和几何性质，直线方程等知识点。

解题思路

（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.

易错点

第二问不知如何处理已知条件导致本题没思路。

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆，过点且不过点的直线与椭圆交于，

两点，直线与直线交于点．

27.求椭圆的离心率；

28.若垂直于轴，求直线的斜率；

29.试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）.

解析

试题分析：（Ⅰ）先将椭圆方程化为标准方程，得到，，的值，再利用计算离心率

（Ⅰ）椭圆的标准方程为.

所以，，.

所以椭圆的离心率.

考查方向

本题主要考查的是椭圆的标准方程、椭圆的简单几何性质，属于中档题．

解题思路

通过将椭圆C的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；

易错点

解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率，直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系，即椭圆（）的离心率．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）1.

解析

试题分析：（Ⅱ）由直线的特殊位置，设出，点坐标，设出直线的方程，由于直线与相交于点，所以得到点坐标，利用点、点的坐标，求直线的斜率.

（Ⅱ）因为过点且垂直于轴，所以可设，.

直线的方程为.

令，得.

所以直线的斜率.

考查方向

本题主要考查的是直线的斜率，属于中档题．

解题思路

通过令直线AE的方程中x=3，得点M坐标，即得直线BM的斜率；

易错点

解题时一定要注意直线的斜率是否存在，否则很容易出现错误.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅲ）直线与直线平行.

解析

试题分析：（Ⅲ）分直线的斜率存在和不存在两种情况进行讨论，第一种情况，直接分析即可得出结论，第二种情况，先设出直线和直线的方程，将椭圆方程与直线的方程联立，消参，得到和，代入到中，只需计算出等于即可证明，即两直线平行.

（Ⅲ）直线与直线平行.证明如下：

当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知.

又因为直线的斜率，所以.

当直线的斜率存在时，设其方程为.

设，，则直线的方程为.

令，得点.

由，得.

所以，.

直线的斜率.

因为

，

所以.

综上可知，直线与直线平行.

考查方向

本题主要考查的是两条直线的位置关系，属于中档题．

解题思路

分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．

易错点

若两条直线，斜率都存在，则且．

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