椭圆的定义及标准方程
共448题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：填空题

填空题 · 5 分

椭圆的两个焦点为，点在椭圆上,若,则。

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：

的直径，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于、两点，

交椭圆于另一点。

(1) 求椭圆的方程；

(2) 求△面积的最大值及取得最大值时

直线的方程。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意得

∴椭圆的方程为

（2）设

由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为

故点到直线的距离为，又圆：，

∴

又，∴直线的方程为

由，消去，整理得，

故，代入的方程得

∴

设△的面积为，则

∴

当且仅当，即时上式取等号。

∴当时，△的面积取得最大值，

此时直线的方程为

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

设椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，左焦点到直线的距离等于长半轴长。

（1）求椭圆的方程；

（2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中垂线与轴相交于点，求实数的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）由已知可得，

由到直线的距离为，所以，，，，，，，，，，，，3分

解得

所求椭圆方程为. ，，，，，，，，，，，，，，，，5分

（2）由（1）知, 设直线的方程为：

消去得，，，，，7分

因为过点，所以恒成立

设，

则，

中点，，，，，，，，，，，，，，，9分当时，为长轴，中点为原点，则，，，，，，，，，，，，，，10分

当时中垂线方程，

令，，，，，，，，，，11分

，，可得

综上可知实数的取值范围是，，，，，，，，，，，，，，，13分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆和直线L:=1, 椭圆的离心率，直线L与坐标原点的距离为。

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，若直线与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个值，若不存在说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）直线L:=1,∴=.① ，，，，，，，，，，，，，，，，，，2分

e=.② ，，，，，，，，，，，，，，，，，，4分

由①得，3

由②3得 ∴所求椭圆的方程是+y2=1. ，，，，，，，，，，，，，，，，，，6分

（2）联立得：.

Δ ，，，，，，，，，，，，8分

设，则有

，，，，，，，，，，，，，，，，，，10分

∵，且以CD为圆心的圆点过点E，

∴EC⊥ED. ，，，，，，，，，，，，，，，，，，12分

则

∴，解得=＞1,

∴当=时以CD为直径的圆过定点E. ，，，，，，，，，，，，，，，，，。14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知圆：,若椭圆：（）的右顶点为圆的圆心，离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线：，若直线与椭圆分别交于，两点，与圆分别交于，两点（其中点在线段上），且，求的值。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）设椭圆的焦距为，因为，，所以………………2分

所以所以椭圆：………………4分

（2）设（，），(，)

由直线与椭圆交于两点，，则

所以, 则，………………6分

所以………………8分

点(）到直线的距离………………10分

则………………11分

显然，若点也在线段上，则由对称性可知，直线就是轴，矛盾，

因为，所以………………12分

所以

解得,即………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

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