椭圆的定义及标准方程
共448题

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椭圆的定义及标准方程
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题型：填空题

填空题 · 4 分

已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点，使得成立，则的取值范围为。

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点（1，）在该椭圆上。

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，椭圆的长轴为，设是椭圆上异于、的任意点，轴，为垂足，点满足，直线与过点且垂直于轴的直线交于点，，求证：为锐角。

正确答案

见解析。

解析

解：（1）设椭圆C的方程为，由题意可得 ,

又，∴.

∵椭圆C经过，代入椭圆方程有，

解得.

∴，故椭圆C的方程为 .

（2）设，

∵，

∴，

∴直线的方程为。

令，得，∵，，∴。

∴，。

∴

∵，∴∴

∵，∴，又、、不在同一条直线，

∴为锐角。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（1，0）。

设M（x0，y0）（x0＜0），由点M在抛物线上，

∴，，解得，。

而点M在椭圆C1上，∴，化为，

联立，解得，

故椭圆的方程为。

（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2.设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，

把y=kx代人，可得，x2＞0，y2=﹣y1＞0，且。

，，

故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF==

=≤=。

当且仅当时上式取等号。

∴四边形AEBF面积的最大值为。

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的范围、最值问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且。

（1）求椭圆C1的方程；

（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y＝kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，动直线过点，且直线与椭圆交于，两点，证明：为定值。

正确答案

见解析

解析

（1）解：由题意知：.

根据椭圆的定义得：，即.………………3分

所以 .

所以椭圆的标准方程为.………………4分

（2）证明：当直线的斜率为0时，.

则 . ……………6分

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，.

由可得：.

显然.

……………9分

因为，，

所以

即 .………………13分

知识点

平面向量数量积的运算椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

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