由递推关系式求数列的通项公式
共176题

· 由递推关系式求数列的通项公式

由递推关系式求数列的通项公式
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）设,数列的前项和，求证.

正确答案

见解析

解析

（1）,

,相加得：，

（2）又（1）知，

，两式相减化简得

，

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知数列为等差数列，，其前和为，数列为等比数列，且对任意的恒成立。

（1）求数列、的通项公式；

（2）是否存在，使得成立，若存在，求出所有满足条件的；若不存在，说明理由。

（3）是否存在非零整数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）法1：设数列的公差为，数列的公比为。

因为

令分别得，，，又

所以即

得或

经检验符合题意，不合题意，舍去。

所以.

法2：因为 ①

对任意的恒成立

则（） ②

①②得

又，也符合上式，所以

由于为等差数列，令，则，

因为等比数列，则（为常数）

即恒成立

所以，又，所以，故，

（2）解:假设存在满足条件，则

化简得

由得为奇数，所以为奇数，故

得

故，这与矛盾，所以不存在满足题设的正整数

（3）由，得，

设，则不等式等价于.

∵，∴，数列单调递增.

假设存在这样的实数，使得不等式对一切都成立，则

① 当为奇数时，得；

② 当为偶数时，得，即

综上，，由是非零整数，知存在满足条件

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，数列是首项为1，公比为3的等比数列

（1）求数列、的通项公式；

（2）设数列的前项和，若不等式对恒成立，求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

（1）依题意得

解得，

，

又数列是首项为1，公比为3的等比数列，则，

（2）令

∴

由对恒成立可得对恒成立，

则

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知数列的前项和为。

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和。

正确答案

（1）（2）

解析

（1）数列的前项和为

又当时，，

数列的通项公式为 ………………5分

（2）由，得.

所以①

由①得：

②

由①②得：

………………10分

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和

题型：单选题

单选题 · 5 分

设抛物线的准线与x轴交于，焦点为，以为焦点，离心率为2的双曲线的两条准线之间的距离等于

D10

正确答案

解析

双曲线的半焦距，由知，双曲线的两条准线之间的距离为.选B.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：简答题

简答题 · 14 分

20.若由数列生成的数列满足对任意的其中，则称数列为“Z数列”。

（I）在数列中，已知，试判断数列是否为“Z数列”；

（II）若数列是“Z数列”，

（III）若数列是“Z数列”，设求证

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合不等式的证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．已知数列的前项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）数列中，令，，求；

（3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。令（为正整数），求数列的变号数．

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

17．已知函数,数列满足

（1）求数列的通项公式；

（2）令求

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的前n项和及其最值数列与函数的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为，（），数列的通项公式为（）．

正确答案

5；

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知曲线，过C上一点作一斜率为的直线交曲线于另一点，点列的横坐标构成数列，其中

（1）求的关系式；

（2）求证：是等比数列；

（3）求证：

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明数列与不等式的综合数列与解析几何的综合

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