圆的切线的性质定理的证明
共15题

圆的切线的性质定理的证明
共15题

热门试卷

题型：简答题

简答题 · 10 分

22.选修4一 1:几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点垂直BE交圆于点D.（1）证明：DB = DC;（2）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求ABCF外接圆的半径.

23.选修4一4:坐标系与参数方程已经曲线C1的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立及坐标系，曲线C2额极坐标方程为=2. （1）分别写出C1的普通方程，C2的直角坐标方程；（2）已知M，N分别为曲线C1的上，下顶点，点P为曲线C2上任意一点，求|PM|+|PN的最大值.

24.选修4一 5 :不等式选讲已知函数f(x)= 的定义域为R.（1）求实数m的取值范围；（2）最大值为n，当正数a，b满足==n时，求7a+4b的最小值.

正确答案

22（1）连接DE交BC于点G,由弦切角定理得，

∠ABE=∠BCE, ∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,

故BE=CE,

又因为DB垂直BE,

所以DE为直径，则∠DCE=90度，

由勾股定理可得，DB=DC

(2)由（1）知，∠CDE=∠BDE,DB=DC,

故DG是BC的中垂线，

所以,设DE的中点为O,

连接BO,则∠BOG=60°，从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，

所以CF⊥BF，

故Rt△BCF外接圆的半径等于

23(1)曲线C1的普通方程为，

曲线C2的普通方程为

（2）由曲线C1:,可得其参数方程为，

所以P点坐标为，

由题意可知,M,N

因此，

所以当=0的时候，有最大值，为。

24（1）因为函数定义域为R,所以恒成立

设函数，则m不大于函数的最小值

又得的最小值为4，

所以，

故m的取值范围为

（2）由1知m=4

所以

当且仅当即时，

7a+4b有最小值，为

解析

22无 23主要是消去参数。利用解析几何相关知识求解 24先求出函数的最小值，然后确定m的取值范围，第（2）问利用不等式的基本性质转换求解。

考查方向

22主要考查圆切线的性质，相似三角形的计算 23本题主要考查直角坐标和极坐标的相互转换，考察解析几何的简单应用 24本题主要考查不等式的性质与证明

解题思路

22利用线切角定理和勾股定理可证明第一问，第二问做出适当的辅助线即可求解 23消去参数方程中的参数即可，结合三角函数相关性质求得。24利用均值不等式、基本不等式相关性质计算

易错点

22相似度掌握不好计算能力弱 23直角坐标和极坐标不会转换 24对基本不等式掌握不牢

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

题型：简答题

简答题 · 10 分

22．选修4-1:几何证明选讲

如图，圆M与圆N交于A， B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5， DB=10.

（I）求AB的长；

（II）求。

正确答案

（1）；

（2）．

解析

试题分析：本题属于平面几何问题，具体解析如下：

（Ⅰ）根据弦切角定理，

知，，

∴△∽△ ，则，

故．

（Ⅱ）根据切割线定理，知，，

两式相除，得（*）．

由△∽△，得，，

又，

由（*）得．

考查方向

本题考查了平面几何中圆幂定理的应用，大体可以分成以下几类：

1、圆与圆的位置关系；

2、弦切角定理的应用；

3、相似三角形的判定；

4、切割线定理的应用；

5、相似三角形的性质。

解题思路

本题考查平面几何内圆的相关知识，解题步骤如下：

1、根据弦切角定理判定三角形相似，进而得到AB的值；

2、根据切割线定理得到两边对应成比例，进而得出三角形相似；

3、根据三角形相似的性质，得到比例。

易错点

1、相似三角形的判定应用时条件不全；

2、切割线定理应用时两式相除这个技巧不容易想到；

3、运算出错。

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

题型：简答题

简答题 · 10 分

22．如图，在直角中，，为边上异于的一点，以为直径作，分别交于点．

（Ⅰ）证明：四点共圆；
（Ⅱ）若为中点，且，求的长．

正确答案

（Ⅰ）略

（Ⅱ）

解析

试题分析：本题是有关直线与圆的问题，难度不大。在解题中注意结合切线的性质和勾股定理等知识进行解决。

（Ⅰ）连结，则，

因为为直径，所以，

因为，所以，

所以，

所以四点共圆．

（Ⅱ）由已知为的切线，所以，故，

所以，

因为为中点，所以．

因为四点共圆，所以，

所以．

考查方向

本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理、四点共圆等基础知识，考查推理论证能力．难度较小．

解题思路

本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理等基础知识。

解题步骤如下：利用四点共圆的判定定理，证明四点共圆；利用切线性质和勾股定理及第一问的结论，求出的长。

易错点

第二问计算中，不易想到利用第一问四点共圆的性质解决。

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

题型：简答题

简答题 · 10 分

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，已知：是以为直径的半圆上一点，⊥于点，直线与过点的切线相交于点[来，为中点，连接交于点，

（Ⅰ）求证：∠BCF=∠CAB ；

（Ⅱ）若FB=FE=1，求⊙O的半径．

正确答案

（1）略

（2）

解析

（Ⅰ）证明：因为AB是直径，

所以∠ACB＝90°

又因为F是BD中点，所以∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB

因此∠BCF=∠CAB

（Ⅱ）解：直线CF交直线AB于点G，

由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：与全等，所以 FA＝FG，

且AB＝BG

由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2 ……①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2 ……②

由①、②得：FG2-2FG-3=0

解之得：FG1＝3，FG2＝－1（舍去）

所以AB＝BG＝

所以⊙O半径为.

考查方向

本题主要考查圆中的圆周角、圆心角定理、弦切角定理，以及切割线定理的运用，难度中等，属选考题中的热点问题。

解题思路

第一问：由已知条件得FC=FB=FE得到∠BCF=∠CBF=∠CAB

第二问：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC，继而证得：与全等，得到FA＝FG，由切割线定理得：（1＋FG）2＝BG×AG=2BG2 再由勾再由股定理得：BG2＝FG2－BF2，，然后求出FG

易错点

1、第一问想到弦切角定理，进而向证明CF与圆相切，虽然可以证明，但是，但是过程稍烦一些。 2、第二问没有注意题中的已知条件，而运用导致无法计算

知识点

圆的切线的判定定理的证明圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

题型：填空题

填空题 · 5 分

11. 如下图，是圆的切线，切点为交圆于两点，，

则．

正确答案

解析

，

所以，

设,所以，

求得，，

由勾股定理可得，

，

所以，

所以

考查方向

切线长定理弦切角定理勾股定理

解题思路

根据切线长定理，勾股定理求解

易错点

圆中线段关系弄错

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

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