抛物线的定义及应用
共187题

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题型：填空题

填空题 · 4 分

13. 已知抛物线的准线与双曲线相切，则双曲线的离心率（）

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题型：单选题

单选题 · 5 分

9．定义在上的函数,是它的导函数,且恒有成立,则（　　）

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题型：简答题

简答题 · 16 分

22．我们将具有下列性质的所有函数组成集合M：函数，对任意均满足，当且仅当时等号成立。

（1）若定义在上的函数大小；

（2）给定两个函数：证明：

（3）试利用（2）的结论解决下列问题：若实数m，n满足，求m+n的最大值。

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题型：简答题

简答题 · 14 分

20. 已知焦点在轴上的椭圆过点，且离心率为,为椭圆的左顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知过点的直线与椭圆交于，两点.

① 若直线垂直于轴，求的大小;

② 若直线与轴不垂直，是否存在直线使得为等腰三角形？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由。

正确答案

（1）设椭圆的标准方程为，且.

由题意可知：，.

解得.

∴ 椭圆的标准方程为.

（2）由（1）得.设.

①当直线垂直于轴时，直线的方程为.

由解得：或

即（不妨设点在轴上方）.

则直线的斜率，直线的斜率.

∵ ，得 .

∴ .

②当直线与轴不垂直时，由题意可设直线的方程为.

由消去得：.

因为点在椭圆的内部，显然.

因为，，，

所以

∴ . 即为直角三角形.

假设存在直线使得为等腰三角形，则.

取的中点，连接，则.

记点为.

另一方面，点的横坐标，

∴点的纵坐标.

又

故与不垂直，矛盾.

所以当直线与轴不垂直时，不存在直线使得为等腰三角形.

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题型：填空题

填空题 · 4 分

9．已知圆C过点，且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为_____________．

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