抛物线的定义及应用
共187题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

13．如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为，拱高为，其面积为_________

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题型：单选题

单选题 · 5 分

12．若点P（3，m）在以点F为焦点的抛物线（t为参数）上，则|PF|等于（）

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题型：单选题

单选题 · 5 分

6．已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥轴，则双曲线的离心率为（）

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题型：简答题

简答题 · 8 分

25．已知抛物线与轴交于点，它的顶点为点，点、关于原点的对称点分别为，．若，，，中任何三点都不在一直线上，则称四边形为抛物线的伴随四边形，直线为抛物线的伴随直线．

（）求抛物线的伴随直线的解析式，及伴随四边形的面积．

（）若某抛物线的伴随直线是，伴随四边形的面积为，求此抛物线的解析式（写成一般式形式）．

（）若抛物线的伴随直线是，且伴随四边形是矩形，求的值．

正确答案

（）依题可知，，

，，，，

四边形为平行四边形，对角线的交点为原点，四边形的面积为．

设直线的解析式为，

，

解得．

伴随直线的解析式为，伴随四边形的面积为．

（）抛物线的伴随直线是，即此时，

伴随四边形的面积为，，

故或．

即抛物线的解析式可能是，过点，，，即；

抛物线的解析式还可能是，过点，，，即；

（）∵伴随四边形是矩形，∴．

伴随直线是，则，

设，，，

∴，，解得，．

当时，与点重合，不符合题意，舍去．

当时，，

抛物线的解析式为，过点，，，

即，

即．

故的值为．

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题型：单选题

单选题 · 5 分

5．若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（）

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题型：填空题

填空题 · 5 分

13．过抛物线（）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为_____________________．

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题型：简答题

简答题 · 14 分

19．已知抛物线，直线与C交于A，B两点，O为坐标原点．

（Ⅰ）当，且直线过抛物线C的焦点时，求的值；

（Ⅱ）当直线OA，OB的倾斜角之和为45°时，求，之间满足的关系式，并证明直线过定点。

正确答案

（1）抛物线的焦点为（1，0）

由已知=，设，，

联立，

消得，

所以，

（2）联立，消得………………（*）（依题意≠0）

，，

设直线OA，OB的倾斜角分别为α，β，斜率分别为，，则α+β=45°，

，

其中，，代入上式整理得

所以，即，

此时，使（*）式有解的，有无数组

直线的方程为，整理得

消去，即时恒成立，所以直线过定点（-4，4）

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题型：单选题

单选题 · 5 分

12．已知函数有两个零点，则有（）

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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．如图，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A、B.

（1）设抛物线上一点P到直线l的距离为d，F为焦点，当时，求抛物线方程和线段AB的长；

（2）求M到直线AB的距离的最小值。

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题型：单选题

单选题 · 5 分

3．已知点A（3，2），F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，当取得最小值时，点P的坐标是（）

A（0，0）

B（2，2）

C（－2，－2）

D（2，0）

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