抛物线的定义及应用
共187题

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题型：填空题

填空题 · 5 分

设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-2的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是

正确答案

解析

由抛物线的定义知：点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线x=-1的距离，所以点P到该抛物线焦点的距离是5-1=4.

知识点

抛物线的定义及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则 .

正确答案

解析

∵可得抛物线的标准方程为，∴焦点，∵点的横坐标是3，则，所以点，

由抛物线得几何性质得，∵，∴，解得.

知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知抛物C的标准方程为，M为抛物线C上一动点，为其对称轴上一点，直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时，的面积为.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）记，若t值与M点位置无关，则称此时的点A为“稳定点”，试求出所有“稳定点”，若没有，请说明理由.

正确答案

见解析

解析

（1）由题意,

抛物线C的方程为

（2）设,直线MN的方程为

联立

得

由对称性,不妨设,

‍（i）时,, 同号,

又

不论a取何值,t均与m有关,即时A不是“稳定点”;

（ii）时, , 异号,

又

所以,仅当,即时,t与m无关,此时A即抛物线C的焦点,即抛物线C对称轴上仅有焦点这一个“稳定点”

知识点

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题型：简答题

简答题 · 10 分

设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB。

（1）求抛物线的方程；

（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；

（3）若kPA·kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），

因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x。

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，

同理，。

∵kPA+kPB=0，

∴+=0，∴=，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8

∴。

即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1。

（3）∵kPAkPB=1，∴·=1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0。

直线AB的方程为，即(y1+y2)y-y1y2=8x。

将-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得

(y1+y2)(y+4)=8(x+6)，该直线恒过定点（-6，-4），命题得证。

知识点

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题型：填空题

填空题 · 5 分

设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴交于点C，过点F作它的弦AB，若∠CBF=90°，则|AF|﹣|BF|=　　。

正确答案

解析

设AB方程为：y=k（x﹣）（假设k存在），与抛物线y2=2px（p＞0）联立得k2（x2﹣px+）=2px，

即k2x2﹣（k2+2）px+=0

设两交点为A（x2，y2），B（x1，y1），∠CBF=90°即（x1﹣）（x1+）+y12=0，

∴ x12+y12=，∴x12+2px1﹣=0，即（x1+p）2=p2，解得x1=，

∴ B（，），|BC|=，|BF|=，

∵ x1x2=，x1=，

∴ x2=

∴ A（，﹣），|AF|=，

∴|AF|﹣|BF|=2P，

故答案为2P。

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点是抛物线的焦点，若为直角三角形，则该双曲线的离心率为

正确答案

解析

抛物线的焦点为，准线方程为，设直线与轴的交点为C,则,因为为直角三角形，所以根据对称性可知，，则A点的坐标为，代入双曲线方程得，所以，，所以离心率，选D.

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，直线y=2x与抛物线y=3﹣x2所围成的阴影部分的面积是（　　）

正确答案

解析

由，解得或

∴直线y=2x与抛物线y=3﹣x2交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2）

∴两图象围成的阴影部分的面积为

=（3×1﹣×13﹣12）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）3﹣（﹣3）2]

=。

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（　　）

正确答案

解析

由双曲线方程可得a=3，b=4，c=5，

实轴长=6，离心率e=，

顶点坐标（﹣3，0），（3，0），

焦点坐标（﹣5，0），（5，0），

渐近线方程y=和y=﹣，

圆心（5，0）到直线4x+3y=0的距离即为所求圆的半径R

R==4，

所以圆方程：（x﹣5）2+y2=16。

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知，为椭圆的左、右顶点，为其右焦点，是椭圆上异于，的动点，且面积的最大值为。

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）直线与椭圆在点处的切线交于点，当直线绕点转动时，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并加以证明。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意可设椭圆的方程为，。

由题意知解得，， …………2分

故椭圆的方程为，离心率为， …………4分

（2）以为直径的圆与直线相切，

证明如下：由题意可设直线的方程为.

则点坐标为，中点的坐标为。

由得，…………5分

设点的坐标为，则。

所以，， …………6分

因为点坐标为，

当时，点的坐标为，点的坐标为.……7分

直线轴，此时以为直径的圆与直线相切。

当时，则直线的斜率.

所以直线的方程为， …………8分

点到直线的距离，……10分

又因为，所以， …………11分

故以为直径的圆与直线相切。

综上得，当直线绕点转动时，以为直径的圆与直线相切……12分

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，弦中点在其准线上的射影为，则的最大值为

正确答案

解析

设，则x+y=2m，由余弦定理，则，所以选C。

知识点

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