抛物线的定义及应用
共187题

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抛物线的定义及应用
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题型：填空题

填空题 · 5 分

设抛物线y2=4x上一点P到直线x=-2的距离为5，则点P到该抛物线焦点的距离是

正确答案

解析

由抛物线的定义知：点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线x=-1的距离，所以点P到该抛物线焦点的距离是5-1=4.

知识点

抛物线的定义及应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

己知抛物线的参数方程为（为参数），其中，焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为，若，点的横坐标是3，则 .

正确答案

解析

∵可得抛物线的标准方程为，∴焦点，∵点的横坐标是3，则，所以点，

由抛物线得几何性质得，∵，∴，解得.

知识点

抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 10 分

设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB。

（1）求抛物线的方程；

（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；

（3）若kPA·kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意，可设所求抛物线的方程为y2=2px（p＞0），

因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x。

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，

同理，。

∵kPA+kPB=0，

∴+=0，∴=，y1+4= -y2-4，y1+y2= -8

∴。

即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1。

（3）∵kPAkPB=1，∴·=1，∴y1y2+4(y1+y2)-48=0。

直线AB的方程为，即(y1+y2)y-y1y2=8x。

将-y1y2=4(y1+y2)-48代入上式得

(y1+y2)(y+4)=8(x+6)，该直线恒过定点（-6，-4），命题得证。

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点是抛物线的焦点，若为直角三角形，则该双曲线的离心率为

正确答案

解析

抛物线的焦点为，准线方程为，设直线与轴的交点为C,则,因为为直角三角形，所以根据对称性可知，，则A点的坐标为，代入双曲线方程得，所以，，所以离心率，选D.

知识点

抛物线的定义及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

如图，直线y=2x与抛物线y=3﹣x2所围成的阴影部分的面积是（　　）

正确答案

解析

由，解得或

∴直线y=2x与抛物线y=3﹣x2交于点A（﹣3，﹣6）和B（1，2）

∴两图象围成的阴影部分的面积为

=（3×1﹣×13﹣12）﹣[3×（﹣3）﹣×（﹣3）3﹣（﹣3）2]

=。

知识点

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