热门试卷

（1）当时，

，，∴所求切线方程，即

（2）由题意，，。

令

又

∴在上单调递减

∴

∴

∴的值域为

（3）由得，即有

令，则，令，

∴在上单调递增，在上单调递减。

∴，∴

又令，则。

令，，又

∴在上单调递增，在上单调递减

又，

∴当时，，即

∴

同理，当时，，当时，。

综上，当时，

当时，，

当时，。

因为，由已知，所以，得.所以，，当时，，为增函数，当时，，为减函数.所以是函数的极大值点，又在上存在极值，所以，

即，故实数的取值范围是.

等价于.

令，则，

再令，则，

因为，所以，所以在上是增函数，

所以，所以，所以在上是增函数，

所以时，，故.

令，则，

因为，所以，所以，所以在上是减函数.

所以时，，

所以，即.

（Ⅰ）

 上是减函数

（Ⅱ），即的最小值大于.

令，则上单调递增,

又 ，存在唯一实根, 且满足

，

当时，当时，

∴，故正整数的最大值是3

（Ⅲ）由(Ⅱ)知，∴-

令, 则

∴

∴

（Ⅰ）若处的切线斜率为，

，

得．

(Ⅱ)由

当时，令 解得：

当变化时，随变化情况如下表：

由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数

所以，当时，的单调减区间为，单调增区间为

（Ⅲ）当时，要证，即证

令，只需证

由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数

又  ∴

在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点

设的零点为,则即

由的单调性知：

当时，，为减函数

当时，，为增函数，

所以当时，

又，等号不成立∴

（Ⅰ），

由x = e是f(x)的极值点，得，解得 或，

经检验，符合题意，所以或；

（Ⅱ）由已知得方程只有一个根，

即曲线f(x)与直线只有一个公共点。

易知，设，

①当时，易知函数f(x)在上是单调递增的，满足题意；

②当时，易知h(x)是单调递增的，又，，

∴，，

当时，>0，∴f(x)在上单调递增，

同理f(x)在上单调递减，在上单调递增，

又极大值，所以曲线f(x) 满足题意；

③当a>1时，，，

∴，，即，得，

可得f(x) 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

又，若要曲线f(x) 满足题意，只需，即，

所以，由知，且在[1,+∞)上单调递增，

由，得，因为在[1,+∞)上单调递增，

所以；

综上知，。

，

若曲线在点（2，f(2)）处的切线的斜率小于0，

则，即有，∴2a+1>2>1，…………………2

则由f(x)>0得0<x<1或x>2a+1；由f(x)<0得1<x<2a+1。

∴f(x)的单调递增区间为(0,1)，（2a+1,+），单调递减区间为(1,2a+1)。……5

∵，∴(2a+1)[4,6],由(Ⅰ)知f(x)在[1,2]上为减函数。

不妨设1≤x1<x2≤2，则f(x1)>f(x2)，，

∴原不等式即为：f(x1)-f(x2)<，

即，对任意的，x1，x2[1,2]恒成立。……7

令g(x)=f(x)-，∴对任意的，x1，x2[1,2]有g(x1)<g(x2)恒成立，

∴g(x)=f(x)-在闭区间[1，2]上为增函数，

∴对任意的，x[1,2]恒成立。……………………9

而，

化简得，

即≥0，其中。

∵[1,2]，，只需，

即对任意x[1,2]恒成立，

令，x[1,2]，恒成立，

∴在闭区间[1,2]上为减函数，

则。由，解得。……12