导数的几何意义
共149题

· 导数的几何意义

导数的几何意义
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数（其中为常数且）在处取得极值．

24.当时，求的极大值点和极小值点；

25.若在上的最大值为1，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

略

题型：简答题

简答题 · 14 分

（本小题满分14分）

设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中aR.

（I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得f(x) ＞-e1-x+在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).

正确答案

知识点

导数的几何意义不等式的性质不等式的应用不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数，（为常数）.

25.当时，求函数的单调区间；

26.若对任意恒成立，求实数的取值范围；

27.若，，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

当时，，，得.

由，解得，即在上单调递增；

由，解得，即在上单调递减.

∴综上，的单调递增区间为，单调递减区间为

解析

当时，，，得.

由，解得，即在上单调递增；

由，解得，即在上单调递减.

∴综上，的单调递增区间为，单调递减区间为

考查方向

本题主要考查了导数的应用——利用导数求函数的单调区间问题，属于常规性问题。

解题思路

首先将代入解析式中，然后求出导函数，解不等式和即可求得单调区间。

易错点

本题容易因含有对数的超越不等式不会解而导致结果算不出来。

教师点评

本题属于常规性问题，在每一年的高考中都会考到，需要考生加强这一类问题的训练。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

已知，于是变形为，

从而，即，整理得.

令，则，即在上是减函数，

∴，令，则，

当时，，即此时单调递增；当时，，即此时单调递减，

而，∴，∴

解析

已知，于是变形为，

从而，即，整理得.

令，则，即在上是减函数，

∴，令，则，

当时，，即此时单调递增；当时，，即此时单调递减，

而，∴，∴

考查方向

本题主要考查了导数的应用，通过求最值来解决不等式恒成立的问题。

解题思路

首先将问题转化为求函数的最值的问题，然后在利用导数予以解决。

易错点

本题在对恒成立问题的分析中容易产生错误的理解而导致出错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

由（1）知，当时，在上是增函数，

∵，∴，

即，同理，

，

又因为，当且仅当时，取等号，，，，

∴，∴，∴.

解析

由（1）知，当时，在上是增函数，

∵，∴，

即，同理，

，

又因为，当且仅当时，取等号，，，，

∴，∴，∴.

考查方向

本题考查了导数的应用以及不等式的证明。

解题思路

首先根据函数的单调性予以放缩，再利用放缩法予以证明。

易错点

本题容易因为放缩法掌握不清楚而导致出现错误。

教师点评

本题属于不等式的证明问题，难度较大，考生需要有足够的知识储备和应变能力。

题型：简答题

单选题

根据《中华人民共和国广告法》，不得发布广告的药品为

A．人血白蛋白
B．氨茶碱
C．可待图片
D．狂犬疫苗
E．龙胆泻肝九

正确答案

解析

禁止发布广告的药品包括：麻醉药品、精神药品、医疗用毒性药品、放射性药品。可待因片属于麻醉药品，故选C。

题型：简答题

简答题 · 14 分

17.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

正确答案

（1）由题意知，点，的坐标分别为，．

将其分别代入，得，

解得．

（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，

设在点处的切线交，轴分别于，点，，

则的方程为，由此得，．

故，．

②设，则．令，解得．

当时，，是减函数；

当时，，是增函数．

从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，

此时．

答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数解析式的求解及常用方法导数的几何意义导数的运算

棒棒哒，已学完当前知识点学习下一知识点

下一知识点 : 导数的运算

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