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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设S n是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前n项和,则下列命题错误的是

A若d<0,则数列{S n}有最大项

B若数列{S n}有最大项,则d<0

C若数列{S n}是递增数列,则对任意的nN*,均有S n>0

D若对任意的nN*,均有S n>0,则数列{S n}是递增数列

正确答案

C

解析

选项C显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,…,满足数列{S n}是递增数列,但是S n>0不成立。

知识点

命题的真假判断与应用等差数列的性质及应用
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

如果等差数列中,,那么

A14

B21

C28

D35

正确答案

C

解析

知识点

等差数列的性质及应用
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=__________.

正确答案

35

解析

∵{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质可得a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1

∴a5+b5=2(a3+b3)-(a1+b1)=2×21-7=35.

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数,a1=16,则a1+a3+a5=____▲_____

正确答案

21

解析

考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(ak,ak2)处的切线方程为:时,解得

所以

知识点

导数的几何意义导数的运算等差数列的性质及应用
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

设公比为q(q>0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n},若

,则q=______________。

正确答案

解析

两个式子全部转化成用,q表示的式子。

,两式作差得:,即:,解之得:(舍去)。

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

等差数列{an}中,a4+ a10+ a16=30,则a18-2a14的值为         。

正确答案

-10

解析

略。

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知等差数列满足:的前n项和为

(1) 求

(2)  令,求数列的前n项和

正确答案

见解析。

解析

(1)设等差数列的首项为,公差为d,

由于 

所以

解得

由于

(2)因为  所以

因此

故 

所以数列的前n项和

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值裂项相消法求和
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知a是给定的实常数,

设函数的一个极大值点.

(1)求b的取值范围;

(2)设的3个极值点,问是否存在实数b,可找到,使得的某种排列(其中)依次成等差数列?若存在,示所有的b及相应的若不存在,说明理由.

正确答案

见解析

解析

(1)解:

于是可设的两实根,且

1)当时,则不是的极值点,此时不合题意

2)当时,由于的极大值点,

  即

所以

所以的取值范围是(-∞,

(2)解:由(Ⅰ)可知,假设存了满足题意,则

1)当时,则

于是

此时

2)当时,则

①若

于是

于是

此时

②若

于是

于是

此时

综上所述,存在满足题意

知识点

导数的几何意义导数的运算等差数列的性质及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知公差不为0的等差数列的首项为a(),设数列的前n项和为,且成等比数列

(1)求数列的通项公式及

(2)记,当时,试比较的大小。

正确答案

(1)(2)

解析

(1)解:设等差数列{an}的公差为d,由

。因为,所以

所以

(2)解:因为  所以

因为所以

当n≥2时,,即

所以,当a>0时,;当a<0时,

知识点

等差数列的性质及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列的各项均为正数,记

(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.

(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.

正确答案

见解析

解析

(1)对任意,三个数是等差数列,所以

亦即故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是

(2)①必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有

知,均大于0,于是

,所以三个数组成公比为的等比数列.

②充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,

于是

,从而.

因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,

综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.

知识点

充要条件的判定等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明
下一知识点 : 等差数列的前n项和及其最值
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