- 等差数列的性质及应用
- 共275题
已知数列的前n项的和为
,且
,
(1)证明数列是等比数列
(2)求通项与前n项的和
;
(3)设若集合M=
恰有4个元素,求实数
的取值范围。
正确答案
见解析
解析
(1)因为,当
时,
。
又,
(
)为常数,
所以是以
为首项,
为公比的等比数列。
(2)由是以
为首项,
为公比的等比数列得,
所以。
由错项相减得。
(3)因为,所以
由于
所以,,
。
因为集合恰有4个元素,且
,
所以
知识点
已知数列是正项等差数列,若
,则数列
也为等差数列. 类比上述结论,已知数列
是正项等比数列,若
= ,则数列{
}也为等比数列.
正确答案
解析
由等差数列的
的和,则等比数列
可类比为
﹒
的积;对
求算术平均值,所以对
﹒
求几何平均值,所以类比结果为
.
知识点
已知数列的首项
,
,
。
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:,
。
正确答案
见解析。
解析
(1)由,得
,
所以是首项
,公差
的等差数列
,所以
,
(2)(方法一),
时,由以上不等式得
,
因为是递增数列,所以
,
(方法二),
时,由以上不等式得
,
因为是递增数列,所以
,
知识点
在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)对任意m∈N﹡,将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm,求数列{bm}的前m项和Sm。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,则
,
,于是
,即
.
(2)对任意m∈N﹡,,则
,
即,而
,由题意可知
,
于是
,
即.
知识点
设等比数列的前
项和为
,已知
(
)
(1)求数列的通项公式;
(2)在与
之间插入
个数,使这
个数组成一个公差为
的等差数列。
求证:(
)。
正确答案
见解析。
解析
(1)设等比数列的首项为
,公比为
,
,
(
)
=
即(
)
当,得
,即
,解得:
即.
(2)①,则
,
设① 则
②
① -②得:2+
=+
知识点
公差不为零的等差数列中,
,数列
是等比数列,且
,则
等于 .
正确答案
8192
解析
等差数列中,
,则
,
取,
.
知识点
等差数列中,
,则
= ( )
正确答案
解析
略。
知识点
设,圆
:
与
轴正半轴的交点为
,与曲线
的交点为
,直线
与
轴的交点为
.若数列
满足:
.则常数
= 使数列
成等比数列;
正确答案
2或4
解析
与圆
交于点
,则
,
由题可知,点的坐标为
,从而直线
的方程为
, 由点
在直线
上得:
, 将
,
代入化简得:
.
由得:
, 又
,故
,
,
令得:
由等式对任意
成立得:
,解得:
或
故当时,数列
成公比为
的等比数列;
当时,数列
成公比为2的等比数列
知识点
若数列{an}的前n项和为Sn,则下列命题正确的是( )
正确答案
解析
解:A:数列{an}的前n项和为Sn,故 Sn =a1+a2+a3+…+an,
若数列{an}是递增数列,则数列{Sn}不一定是递增数列,如an=n﹣60,当an<0 时,数列{Sn}是递减数列,故A不正确。
B:由数列{Sn}是递增数列,不能推出数列{an}的各项均为正数,
如数列:0,1,2,3,…,满足{Sn}是递增数列,但不满足数列{an}的各项均为正数,故B不正确。
C:若{an}是等差数列(公差d≠0),则由S1•S2…Sk=0不能推出a1•a2…ak=0,
例如数列:﹣3,﹣1,1,3,满足S4=0,但 a1•a2•a3•a4≠0,故C不正确。
D:一方面:若{an}是等比数列,则由S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N),
从而当k=2时,有S1•S2=0⇒S2=0⇒a1+a2=0,
∴a2=﹣a1,从而数列的{an}公比为﹣1,故有ak+ak+1=ak﹣ak=0。
另一方面,由ak+ak+1=0可得ak=﹣ak+1,∴a2=﹣a1,
可得S2=0,∴S1•S2…Sk=0(k≥2,k∈N),故D正确。
故选D。
知识点
等差数列中,已知
,则
的值是 。
正确答案
20
解析
设数列的公差为d,由已知可得
,故
.
知识点
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