- 等差数列的性质及应用
- 共275题
20. 设数列A: ,
,…
(N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有
<
,则称n是数列A的一个“G时刻”。记GA.是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。
(I)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出GA.的所有元素;
(I I)证明:若数列A中存在使得
>
,则GA.
;
(I I I)证明:若数列A满足-
≤1(n=2,3, …,N),则GA.的元素个数不小于
-
。
正确答案
(Ⅰ)GA.={2,5}
(Ⅱ)法1:由最小数原理,设am是数列A中第一个大于a1的项
则对每个小于m的正整数k有
故 .从而G(A)≠φ.
法2:(反证).若GA.=φ.则字(2≤y≤N),
有ak≥an
a1
由题意.令j=n.使得ak≥an
a1
同理.使得ak1≥ak
a1
ak2≥ak1
a1
选择的过程可无限进行下去,这与n为确定正整数.
且矛盾
故假设错误.从而G(A) ≠φ
(Ⅲ)设G(A)的元素个数为k.
若aN-a1≤0.则k≥0≥aN-a1成立.
若aN- a1.则由(Ⅱ)和GA.≠φ.设G(A)={ i1,i2,…,ik}
且2≤i1i2
…
ik≤N
由G时刻定义. ai1≥a1aj(j=2,3,…,i1-1).
∴ai1-a1≤ai1- ai1-1≤1.
同理ai2 ai1≥aj(j=1,2, …,i2-1).
∴ai2-ai1≤ai2- ai2-1≤1.
……
以此类推. Ai3-ai2≤1
aik-aik-1≤1
累加得aik-a1≤k.
若,则
若,则N
设am为aik+1,…,aN中第一个大于aik的项
由“G时到”定义,且
这与认为G(A)中最大元素矛盾.
故aN不成立
综上,G(A)的元素个数不小于aN-a1
知识点
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分
若无穷数列满足:只要
,必有
,则称
具有性质
.
(1) 若具有性质
. 且
,
,
,
,
,求
;
(2) 若无穷数列是等差数列,无穷数列
是公比为正数的等比数列,
,
,
,判断
是否具有性质
,并说明理由;
(3) 设是无穷数列,已知
,求证:“对任意
,
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
正确答案
(1)
∴
∴
∴
∴
∴
(2)设的公差为
,
的公差为
,则
∴
∴
∴
∴
∴
∵,
而,
但
故不具有性质
(3) 充分性:若为常数列,设
则
若存在使得
,
则,
故具有性质
必要性:若对任意,
具有性质
则
设函数,
由图像可得,对任意的
,二者图像必有一个交点
∴一定能找到一个,使得
∴
∴
故
∴是常数列
知识点
设数列A: ,
,…
(
).如果对小于
(
)的每个正整数
都有
<
,则称
是数列A的一个“G时刻”.记“
是数列A的所有“G时刻”组成的集合.
27.对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;
28.证明:若数列A中存在使得
>
,则
;
29.证明:若数列A满足-
≤1(n=2,3, …,N),则
的元素个数不小于
-
.
正确答案
(1)的元素为
和
;
解析
(1)G(A)的元素为2和5.
考查方向
解题思路
(1)关键是理解G时刻的定义,根据定义即可写出G(A)的所有元素
易错点
分析题意,将实际问题转化为常用的数列模型,同时注意分类讨论的思想
正确答案
详见解析;
解析
考查方向
解题思路
(1)关键是理解G时刻的定义,根据定义即可写出G(A)的所有元素
易错点
分析题意,将实际问题转化为常用的数列模型,同时注意分类讨论的思想
正确答案
详见解析.
解析
设,记
.
则.
对,记
.
如果,取
,则对任何
.
从而且
.
又因为是
中的最大元素,所以
.
从而对任意,
,特别地,
.
考查方向
解题思路
(1)关键是理解G时刻的定义,根据定义即可写出G(A)的所有元素
易错点
分析题意,将实际问题转化为常用的数列模型,同时注意分类讨论的思想
3.已知等差数列前9项的和为27,
,则
正确答案
解析
试题分析:由已知,所以
故选C.
考查方向
解题思路
先求出等差数列的首项和公差,然后再代入等差数列的通项公式即可求解。
易错点
对等差数列的基本量运算不熟悉导致出错。
知识点
8.已知是等差数列,
是其前
项和.若
,
,则
的值是 .
正确答案
;
解析
设公差为,则由题意可得
,
,
解得,
,则
.
考查方向
解题思路
根据等差数列的通项以及求和列出方程组,求出基本量然后求特定项。
易错点
列方程求基本量致误
知识点
(本小题满分12分)
已知数列{}的首项为1,
为数列{
}的前n项和,
,其中q>0,
.
(I)若 成等差数列,求an的通项公式;
(ii)设双曲线 的离心率为
,且
,证明:
.
正确答案
(Ⅰ)由已知, 两式相减得到
.
又由得到
,故
对所有
都成立.
所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.
从而.
由成等比数列,可得
,即
,则
,
由已知,,故
.
所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.
所以双曲线的离心率
.
由解得
.
因为,所以
.
于是,
故.
知识点
13.设数列的前n项和为
,若
,则
=,
= .
正确答案
1;121
解析
考查方向
解题思路
求比较简单,利用递推关系
,可得
是等比数列
易错点
递推式子运用出错。
知识点
6.已知,
,
,则
正确答案
解析
因为,
,所以
,故选A.
考查方向
解题思路
先将幂值统一成同底数的问题,再结合指数函数的性质以及幂函数的性质比较大小
易错点
幂值的化简,指数函数、幂函数的性质。
知识点
17.已知数列的前n项和
,其中
.
(1)证明是等比数列,并求其通项公式;
(2)若 ,求
.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
.
解析
(Ⅰ)由题意得,故
,
,
.
由,
得
,即
.由
,
得
,所以
.
因此是首项为
,公比为
的等比数列,于是
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由
得
,即
,
解得.
考查方向
1、数列通项与前项和为关系;2、等比数列的定义与通项及前项和为.
解题思路
通过变换结合等比数列的定义可证
利用等比数列定义建立方程
易错点
容易忘记验证n=1的成立性,等比数列求和公式应用出错。
知识点
12.已知为等差数列,
为其前
项和,若
,
,则
_______..
正确答案
6
解析
∵是等差数列,∴
,
,
,
,
∴,故填:6.
考查方向
解题思路
在等差数列五个基本量,
,
,
,
中,已知其中三个量,可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前
项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量,计算时须注意整体代换及方程思想的应用.
易错点
等差数列通项公式及前n项和公式的记忆
知识点
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