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题型:简答题
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简答题 · 13 分

20. 设数列A: , ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有 < ,则称n是数列A的一个“G时刻”。记GA.是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。

(I)对数列A:-2,2,-1,1,3,写出GA.的所有元素;

(I I)证明:若数列A中存在使得>,则GA.  ;

(I I I)证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则GA.的元素个数不小于 -

正确答案

(Ⅰ)GA.={2,5}

(Ⅱ)法1:由最小数原理,设am是数列A中第一个大于a1的项

则对每个小于m的正整数k

 .从而G(A)≠φ.

法2:(反证).若GA.=φ.字(2≤y≤N),akan a1

由题意.令j=n.使得akana1

同理.使得ak1ak a1

 ak2ak1a1

选择的过程可无限进行下去,这与n为确定正整数.

矛盾

故假设错误.从而G(A) ≠φ

(Ⅲ)设G(A)的元素个数为k.

aN-a1≤0.则k≥0≥aN-a1成立.

aN- a1.则由(Ⅱ)和GA.≠φ.设G(A)={ i1,i2,…,ik}

且2≤i1i2ikN

由G时刻定义. ai1a1aj(j=2,3,…,i1-1).

ai1-a1ai1- ai1-1≤1.

同理ai2 ai1aj(j=1,2, …,i2-1).

ai2-ai1ai2- ai2-1≤1.

……

以此类推. Ai3-ai2≤1

aik-aik-1≤1

累加得aik-a1k.

,则

,则N

amaik+1,…,aN中第一个大于aik的项

由“G时到”定义,

这与认为G(A)中最大元素矛盾.

aN不成立

综上,G(A)的元素个数不小于aN-a1

知识点

等差数列的性质及应用
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题型:简答题
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简答题 · 18 分

23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分

若无穷数列满足:只要,必有,则称具有性质.

(1) 若具有性质. 且, , , , ,求

(2) 若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,判断是否具有性质,并说明理由;

(3) 设是无穷数列,已知,求证:“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

正确答案

(1)

(2)设的公差为的公差为,则

,

,

不具有性质

(3) 充分性:若为常数列,设

若存在使得

,

具有性质

必要性:若对任意具有性质

设函数,

图像可得,对任意的,二者图像必有一个交点

∴一定能找到一个,使得

是常数列

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用等差数列与等比数列的综合数列与其它知识的综合问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

设数列A: , ,… ().如果对小于()的每个正整数都有 < ,则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列A的所有“G时刻”组成的集合.

27.对数列A:-2,2,-1,1,3,写出的所有元素;

28.证明:若数列A中存在使得>,则 ;

29.证明:若数列A满足- ≤1(n=2,3, …,N),则的元素个数不小于 -.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)的元素为

解析

(1)G(A)的元素为2和5.

考查方向

数列、对新定义的理解.

解题思路

(1)关键是理解G时刻的定义,根据定义即可写出G(A)的所有元素

易错点

分析题意,将实际问题转化为常用的数列模型,同时注意分类讨论的思想

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析;

解析

考查方向

数列、对新定义的理解.

解题思路

(1)关键是理解G时刻的定义,根据定义即可写出G(A)的所有元素

易错点

分析题意,将实际问题转化为常用的数列模型,同时注意分类讨论的思想

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

,记.

.

,记.

如果,取,则对任何.

从而.

又因为中的最大元素,所以.

从而对任意,特别地,.

考查方向

数列、对新定义的理解.

解题思路

(1)关键是理解G时刻的定义,根据定义即可写出G(A)的所有元素

易错点

分析题意,将实际问题转化为常用的数列模型,同时注意分类讨论的思想

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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

3.已知等差数列前9项的和为27,,则

A100

B99

C98

D97

正确答案

C

解析

试题分析:由已知,所以故选C.

考查方向

本题主要考查了等差数列及其运算,为高考必考题,在近几年的各省高考题出现的频率较高,常与等差数列的定义、性质等知识点交汇命题。

解题思路

先求出等差数列的首项和公差,然后再代入等差数列的通项公式即可求解。

易错点

对等差数列的基本量运算不熟悉导致出错。

知识点

等差数列的性质及应用
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

8.已知是等差数列,是其前项和.若,则的值是           

正确答案

解析

设公差为,则由题意可得

解得,则

考查方向

等差数列定义通项以及前n项和。

解题思路

根据等差数列的通项以及求和列出方程组,求出基本量然后求特定项。

易错点

列方程求基本量致误

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用
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题型:填空题
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填空题 · 12 分

(本小题满分12分)

已知数列{}的首项为1, 为数列{}的前n项和, ,其中q>0, .

(I)若 成等差数列,求an的通项公式;

(ii)设双曲线 的离心率为 ,且 ,证明:.

正确答案

(Ⅰ)由已知, 两式相减得到.

又由得到,故对所有都成立.

所以,数列是首项为1,公比为q的等比数列.

从而.

成等比数列,可得,即,则

由已知,,故 .

所以.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,.

所以双曲线的离心率   .

解得.

因为,所以.

于是

.

知识点

等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值数列与解析几何的综合
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题型:填空题
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填空题 · 6 分

13.设数列的前n项和为,若

,则=,=          .

正确答案

1;121

解析

考查方向

数列递推,等比数列的通项和求和

解题思路

比较简单,利用递推关系,可得是等比数列

易错点

递推式子运用出错。

知识点

等差数列的性质及应用
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

6.已知,则

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为,所以,故选A.

考查方向

幂函数的图象与性质.

解题思路

先将幂值统一成同底数的问题,再结合指数函数的性质以及幂函数的性质比较大小

易错点

幂值的化简,指数函数、幂函数的性质。

知识点

等差数列的性质及应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

17.已知数列的前n项和,其中

(1)证明是等比数列,并求其通项公式;

(2)若 ,求

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)由题意得,故.

,即.由,所以.

因此是首项为,公比为的等比数列,于是

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,由,即

解得

考查方向

1、数列通项与前项和为关系;2、等比数列的定义与通项及前项和为.

解题思路

通过变换结合等比数列的定义可证

利用等比数列定义建立方程

易错点

容易忘记验证n=1的成立性,等比数列求和公式应用出错。

知识点

等差数列的性质及应用
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

12.已知为等差数列,为其前项和,若,则_______..

正确答案

6

解析

是等差数列,∴

,故填:6.

考查方向

等差数列基本性质.

解题思路

在等差数列五个基本量中,已知其中三个量,可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量,计算时须注意整体代换及方程思想的应用.

易错点

等差数列通项公式及前n项和公式的记忆

知识点

等差数列的性质及应用
下一知识点 : 等差数列的前n项和及其最值
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