等差数列的性质及应用_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n项和，，其中q>0， .

23.若成等差数列，求an的通项公式；

24.设双曲线的离心率为，且，证明：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）；

解析

（Ⅰ）由已知，两式相减得到.

又由得到，故对所有都成立.

所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.

从而.

由成等比数列，可得，即，则，

由已知,，故 .

所以.

考查方向

本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.

解题思路

本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅰ）问中，已知的是的递推式，在与的关系式中，经常用代换（），然后两式相减，可得的递推式，利用这种方法解题时要注意；

易错点

本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第二问易错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（II）证明：由双曲线的性质可知，

由（I）可得，为首项为1，公比为的等比数列

故，即

∴为首项为1，公比为的等比数列，通项公式为

∴

原式得证.

解析

（II）证明：由双曲线的性质可知，

由（I）可得，为首项为1，公比为的等比数列

故，即

∴为首项为1，公比为的等比数列，通项公式为

∴

原式得证.

考查方向

本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.

解题思路

本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第（Ⅱ）问中，不等式的证明用到了放缩法，这是证明不等式常用的方法，本题放缩的目的是为了求数列的和．另外放缩时要注意放缩的“度”．不能太大，否则得不到结果．

易错点

本题考查数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.在第二问易错

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质．

28.若具有性质．且，，，，，求；

29.若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质，并说明理由；

30.设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由题意知

∴

考查方向

主要考察学生对新定义的概念或性质的学习能力，考察学生的证明能力．

解题思路

反复利用性质求解

易错点

对新定义的性质的不理解；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

不具有性质

解析

设的公差为，的公差为，则

∴

∵，

而，

但，

故不具有性质．

考查方向

主要考察学生对新定义的概念或性质的学习能力，考察学生的证明能力．

解题思路

通过计算，寻找不符合性质的情形“但”，从而判断不具有性质

易错点

寻找不到反例

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

，是常数列．

解析

充分性：若为常数列，设

则

若存在使得，

则，

故具有性质．

必要性：若对任意，具有性质

则

设函数，

由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点

∴一定能找到一个，使得

∴

故

∴是常数列．

考查方向

主要考察学生对新定义的概念或性质的学习能力，考察学生的证明能力．

解题思路

从充分性和必要性两方面入手证明．

易错点

充要条件的证明．

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知数列与满足，.

24. 若，且，求数列的通项公式；

25.设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；

26. 设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1）.

解析

试题分析：（1）把bn=3n+5代入已知递推式可得an+1-an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求．

（1）解：由，得，

所以是首项为，公差为的等差数列，

故的通项公式为，.

考查方向

本题考查了求数列的通项公式，

解题思路

等差数列的四种判断方法：(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；(3)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列；(4)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．

易错点

等差数列性质的灵活运用

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略.

解析

试题分析：（2）由，结合递推式累加得到an=2bn+a1-2b1，求得，进一步得到，得答案．

证明：（2）由，得.

所以为常数列，，即.

因为，，所以，即.

故的第项是最大项.

考查方向

本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．

解题思路

数列作为特殊的函数，其单调性的判断与研究也是特别的，只需研究相邻两项之间关系即可.

易错点

数列的单调性

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

试题分析：（3）由（2）可得，，然后分-1＜λ＜0，λ=-1，λ＜-1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再列式求得λ的范围．

（3）因为，所以，

当时，

.

当时，，符合上式.

所以.

因为，所以，.

①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；

②当时，的最大值为，最小值为，而；

③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.

综上，的取值范围是.

考查方向

本题考查了数列递推式，考查了数列的函数特性，求解运用了极限思想方法，是中档题．

解题思路

数列作为特殊的函数，其单调性的判断与研究也是特别的，只需研究相邻两项之间关系即可.

易错点

分类讨论的不重不漏

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

6.已知等差数列的公差为，若成等比数列，那么等于 ___________；

正确答案

2

解析

设，+2，+6 由成等比数列，得：（+2）2=（+6）, =2

考查方向

本题主要考查了等差数列及等比数列的性质。

解题思路

本题考查运用等差数列及等比数列性质求首项，解题步骤如下：设，+2，+6 由成等比数列，得：（+2）2=（+6）, =2

易错点

本题必须注意审题，忽视则会出现错误。

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，．

20.求数列，的通项公式；

21.当时，记，求数列的前n项和．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）或；

解析

（Ⅰ）由题意有，即，解得或

故或.

考查方向

1、等差数列；2、等比数列；

解题思路

（Ⅰ）由已知可列出方程组，解之得即可得出所求的结果；

易错点

公式记错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）.

解析

由，知，，故，于是

， ①

. ②

①-②可得

，

故.

考查方向

错位相减法；

解题思路

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，于是，易发现：的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的，直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.

易错点

不知道用错位相减法求和。

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点