等差数列的性质及应用_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

设是等差数列，是各项都为正数的等比数列（），且，,已知，

19.求数列，的通项公式；

20.设， ,（），试比较与的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），.

解析

（Ⅰ）设等差数列公差为，等比数列公比为

依题意：-------------------------2分

解得：，-----------------------------------------------4分

所以，.

考查方向

本题主要考查等比数列、等差数列基本量的求解，错位相减法求和等知识，意在考查考生运算求解能力和分析问题、解决问题的能力。

解题思路

问利用等差数列和等比数列的基本量求出其通项公式，

易错点

利用错位相减法求和求不对；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（Ⅱ），

①

②

① ②得：，

又

当时，

当时，．

所以．

考查方向

本题主要考查等比数列、等差数列基本量的求解，错位相减法求和等知识，意在考查考生运算求解能力和分析问题、解决问题的能力。

解题思路

先利用错位相减法求和，然后做差比较与的大小。

易错点

不会比较与的大小。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.已知等差数列的前项和为，且，，则过点和的直线的一个方向向量的坐标可以是( )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设+Bn，所以A=1.5，B=2.5，所以，对选项A，=(-1,-3)，所以选A.

考查方向

本小题主要考查等差数列的通项及前项和，直线的方向向量

解题思路

根据等差数列的前n项和，求出通项公式，写出，找出与答案中的共线向量即可

易错点

由等差数列的前n项和求通项，不理解直线的方向向量

知识点

等差数列的性质及应用直线的方向向量

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

若等差数列的前n项和为，时

17.求的值；

18.设数列的前n项和为且，求证：.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

a=3；

解析

设等差数列的公差为，由可得

即所以，令，可得

解得

考查方向

等差数的前n项和与通项关系

解题思路

将原式变形，得到，转化成n=2,n=3时，首项与公差的方程，求出首项直接代入，采用裂项求和的方法，求,然后放缩。

易错点

前n项和与通项的转化

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由（1），

考查方向

构造新数列的方法及杂数列求和

解题思路

将原式变形，得到，转化成n=2,n=3时，首项与公差的方程，求出首项直接代入，采用裂项求和的方法，求,然后放缩。

易错点

裂项求和应用不熟练.

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知等差数列的通项公式.设数列为等比数列,且.

若,且等比数列的公比最小，

28.写出数列的前4项；

29.求数列的通项公式；

30.证明：以为首项的无穷等比数列有无数多个.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

2，8，32，128.

解析

试题分析：本题属于数列通项公式与数列求和公式的应用问题，由于问题较抽象有一定的难度。（1）求解时一定要灵活应用数学归纳法对进行证明；（2）在用分析法进行证明时要注意分析法的一些要领。

（Ⅰ）观察数列的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，….

因为数列是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4.

（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.

（ⅱ）由（ⅰ）可知，公比，所以.

又，所以，

即.

再证为正整数.

显然为正整数，

时，，

即，故为正整数.

所以，所求通项公式为.

考查方向

本题主要考查了等差等比数列求和公式和通项公式等相关知识和性质，数学归纳法和分析法证明问题的基本思想方法，意在考查考生的运算求解能力，分析问题和解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，较难。

解题思路

本题考查了等差等比数列通项公式的求解，数列求和公式的综合应用，数学归纳法和分析法的应用，解题步骤如下：

（ⅰ）根据题意写出数列的前四项是2，8，32，128.；（ⅱ）根据题意写出再用数学归纳法证明得到结论。

在证明“以为首项的无穷等比数列有无数多个”时要灵活用分析法证明出结论。

易错点

由题归纳法得数列的通项公式而未能利用数学归纳法进行证明而错解。第二问在在用分析法证明时极易出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

an=22n-1；

解析

试题分析：本题属于数列通项公式与数列求和公式的应用问题，由于问题较抽象有一定的难度。（1）求解时一定要灵活应用数学归纳法对进行证明；（2）在用分析法进行证明时要注意分析法的一些要领。

（Ⅱ）设数列是数列中包含的一个无穷等比数列，

且，，

所以公比.因为等比数列各项为整数，所以为整数.

取（），则，故.

只要证是数列的项，即证.

只要证为正整数，显然为正整数.

又时，，

即，又因为，都是正整数，

故时，也都是正整数.

所以数列是数列中包含的无穷等比数列，

其公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，

故数列所包含的以为首项的不同无穷等比数列有无数多个.[

考查方向

本题主要考查了等差等比数列求和公式和通项公式等相关知识和性质，数学归纳法和分析法证明问题的基本思想方法，意在考查考生的运算求解能力，分析问题和解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，较难。

解题思路

本题考查了等差等比数列通项公式的求解，数列求和公式的综合应用，数学归纳法和分析法的应用，解题步骤如下：

（ⅰ）根据题意写出数列的前四项是2，8，32，128.；（ⅱ）根据题意写出再用数学归纳法证明得到结论。

在证明“以为首项的无穷等比数列有无数多个”时要灵活用分析法证明出结论。

易错点

由题归纳法得数列的通项公式而未能利用数学归纳法进行证明而错解。第二问在在用分析法证明时极易出错。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明略。

解析

试题分析：本题属于数列通项公式与数列求和公式的应用问题，由于问题较抽象有一定的难度。（1）求解时一定要灵活应用数学归纳法对进行证明；（2）在用分析法进行证明时要注意分析法的一些要领。

（Ⅱ）设数列是数列中包含的一个无穷等比数列，

且，，

所以公比.因为等比数列各项为整数，所以为整数.

取（），则，故.

只要证是数列的项，即证.

只要证为正整数，显然为正整数.

又时，，

即，又因为，都是正整数，

故时，也都是正整数.

所以数列是数列中包含的无穷等比数列，

其公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，

故数列所包含的以为首项的不同无穷等比数列有无数多个.[ ……13分

考查方向

本题主要考查了等差等比数列求和公式和通项公式等相关知识和性质，数学归纳法和分析法证明问题的基本思想方法，意在考查考生的运算求解能力，分析问题和解决问题的能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，较难。

解题思路

本题考查了等差等比数列通项公式的求解，数列求和公式的综合应用，数学归纳法和分析法的应用，解题步骤如下：

（ⅰ）根据题意写出数列的前四项是2，8，32，128.；（ⅱ）根据题意写出再用数学归纳法证明得到结论。

在证明“以为首项的无穷等比数列有无数多个”时要灵活用分析法证明出结论。

易错点

由题归纳法得数列的通项公式而未能利用数学归纳法进行证明而错解。第二问在在用分析法证明时极易出错。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．已知数列为等差数列，且公差，数列为等比数列，若，，则

A

B

C

D与大小无法确定

正确答案

C

考查方向

本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式。

解题思路

1. 分析与之间的关系，用来表示

易错点

不能定量分析与之间的关系

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17. 在等差数列中，，数列的前n项和.

（Ⅰ）求数列，的通项公式;

（Ⅱ）求数列的前n项和．

正确答案

见解析

解析

解：

经验证首项不成立

（2）当时，

验证：时成立

考查方向

主要考察了等差数列的性质及应用，考察了sn与an之间的关系，考察了裂项相消法求和

解题思路

第一步：通过等差数列的性质求出，由Sn与an的关系求出

第二步：根据bn的通项公式可知，当时，

第三步：使用裂项相消的方法得到

易错点

该题在求bn过程中忽略了首项不成立，第二问求Tn的过程中忽略从第二项起，且使用分组的形式书写答案

教师点评

该题主要考察了讨论首项的数列，解题过程中要注意利用前n项和求通项一定要验证首项。

其次，分段数列在求前n项和的时候不需要把n=1独立出来

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用裂项相消法求和

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知为单调递增的等差数列，,设数列满足

17.求数列的通项；

18.求数列的前项和。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

(1) 设的公差为，则

为单调递增的等差数列且

由得解得

考查方向

本题主要考查等差数列基本量的求解和已知求数列的通项公式和等不数列求和等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

利用等差数列的性质求出数列的通项；

易错点

利用等差数列的性质求通项公式和等比数列的性质混淆；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）

由①

得②

① -②得，

又不符合上式

当时,

符合上式 ,

考查方向

本题主要考查等差数列基本量的求解和已知求数列的通项公式和等不数列求和等知识，意在考查考生的转化与化归能力和运算求解能力。

解题思路

根据公式构造等式求出的通项后利用求和公式求和即可。

易错点

先构造等式做差后求出，进而利用等比数列的求和公式求出其和时忘记第一项导致出错。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知△ABC中，角A、B、C成等差数列，且△ABC的面积为，则AC边的最小值．

正确答案

2

解析

∵A、B、C成等差数列，∴，又，∴，

由得，∵，

及，∴，，∴b的最小值为2.

考查方向

本题主要考查等差中项的定义、三角形的面积公式、余弦定理和基本不等式等知识，意在考查考生综合应用知识的能力和运算求解能力。

解题思路

1.先根据条件A、B、C成等差数列求出；2.利用三角形的面积求出，后带入余弦定理中利用基本不等式即可求出b的最小值。

易错点

1.不会转化题中的条件A、B、C成等差数列；2.求出后不会利用基本不等式求最值。

知识点

正弦定理的应用等差数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10．已知等差数列()中，，，则数列的通项公式；__ ____．

正确答案

，。

解析

故此题答案为，。

考查方向

本题主要考查等差数列通项公式和求和公式的应用，意在考查考生的运算求解能力及分析问题和解决问题能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高，较易。

解题思路

先根据计算出数列的公差；再根据等差数列求和公式弄清项数计算的值得到结论。

易错点

本题易在求和项数的判断上出现错误。

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由题意可知，

所以，

考查方向

等差数列的通项公式

解题思路

先根据题意，求出数列的通项公式，然后再求出K的值

易错点

计算能力弱，等差数列性质掌握不牢

教师点评

等差数列项和项数之间的关系要灵活掌握

知识点

等差数列的性质及应用

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

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易错点

知识点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

教师点评

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路