直线、平面垂直的判定与性质
共445题

直线、平面垂直的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四棱锥的底面为矩形，且。

（1）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；

（2）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值。

正确答案

见解析。

解析

（1）平面⊥平面

∵ ∴

∵四棱锥的底面为矩形 ∴

∵⊂平面，⊂平面，且∩ ∴⊥平面

∵∥ ∴⊥平面 ∵⊂平面

平面⊥平面

（2）如图，过点作延长线的垂线，垂足为，连接。

由（1）可知⊥平面

∵⊂平面

∴平面⊥平面

∵⊂平面，平面⊥平面，

平面∩平面=

∴⊥平面

∴为在平面内的射影。

∴为与底面所成的角，

，

，在直角三角形中，

在直角三角形中，

故

在直角三角形中，，

故直线与平面所成角的正弦值.

知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，在斜三棱柱中，，，侧面与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱、的中点。

（1）求与底面ABC所成的角；

（2）证明EA1∥平面.

正确答案

见解析。

解析

（1）解：过作平面平面，垂足为，连接，并延长交于，连接，于是为与底面所成的角， ………….2分

因为，所以为的平分线

又因为，所以，且为的中点

因此，由三垂线定理

因为，且，所以，

于是为二面角的平面角，即……….4分

由于四边形为平行四边形，得

所以，与底面所成的角度为………………………….8分

（2）证明：设与的交点为，则点P为EG的中点，连结PF。

在平行四边形中，因为F是的中点，所以

而EP平面，平面，所以平面…….12分

知识点

直线与平面平行的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，AB = 1，，点F是PB的中点，点E在边BC上移动。

（1）若，求证：；

（2）若二面角的大小为，则CE为何值时，三棱锥的体积为.

正确答案

见解析

解析

（1）证明：,为PB中点，

∴ 1分

又⊥平面，∴ 2分

又是矩形,∴ 3分

∴，而 4分

∴，∴ 5分

而，∴ 6分

（2）由（1）知：且 7分

∴为二面角的一个平面角，则=60° 8分

∴ 9分

∴，解得 11分

即时，三棱锥的体积为 12分

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与直线垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，在三棱锥P—ABC中，PA=2，AB=AC=4，点D、E、F分别为BC、AB、AC的中点。

（I）求证：平面PAD；

（II）求点A到平面PEF的距离；

（III）求二面角E—PF—A的正切值。

正确答案

: 解法一：

（I），

AD为PD在平面ABC内的射影。

又点E、F分别为AB、AC的中点，

在中，由于AB=AC，故

，平面PAD

（II）设EF与AD相交于点G，连接PG。

平面PAD，dm PAD,交线为PG，

过A做AO平面PEF，则O在PG上，

所以线段AO的长为点A到平面PEF的距离

在

即点A到平面PEF的距离为

说明：该问还可以用等体积转化法求解，请根据解答给分。

（III）

平面PAC。

过A做，垂足为H，连接EH。

则

所以为二面角E—PF—A的一个平面角。

在

即二面角E—PF—A的正切值为

解法二：

AB、AC、AP两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

则A（0，0，0），E（2，0，0），D（2，2，0），F（0，2，0），P（0，0，2）

（I）

且

平面PAD

（II）为平面PEF的一个法向量，

则

令

故点A到平面PEF的距离为：

所以点A到平面PEF的距离为

（III）依题意为平面PAF的一个法向量，

设二面角E—PF—A的大小为（由图知为锐角）

则，

所以

即二面角E—PF—A的正切值为

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直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 4 分

9．已知圆锥的底面半径垂直，所成的角为.则圆锥的体积为___________。

正确答案

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旋转体（圆柱、圆锥、圆台）线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．在三棱锥中，，，，.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值；

（3）求点至平面的距离。

正确答案

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知识点

线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 10 分

17. 设函数。

（Ⅰ）判断的奇偶性；

（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围。

正确答案

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知识点

线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．如图所示，已知单位正方体，是正方形的中心。

（1）求与下底面所成角的大小；

（2）求异面直线与所成的角的大小。

正确答案

（1）过E作EF⊥平面ABCD，F为垂足，

∴AF是AE在底面ABCD上的射影，

∴∠EAF就是求AE与下底面所成角的大小，

∴在Rt△EAF中，∠EAF=arctan，

因此，AE与下底面所成角的大小为arctan。

（2）∵EF//CC'//DD'，∴∠AEF就是异面直线AE与DD'所成的角，

∴在Rt△EAF中，∠AEF=arctan，

因此，AE与DD'所成角的大小为acrtan。

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线面角和二面角的求法

题型：填空题

填空题 · 4 分

7．如图，已知边长为6的正方形所在平面外的一点，平面，，连接，则与平面所成角的大小（）（用反三角函数表示）

正确答案

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直线与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．如图，已知矩形的边 ,,点、分别是边、的中点，沿、分别把三角形和三角形折起，使得点和点重合，记重合后的位置为点。

（1）求证：平面平面；

（2）设、分别为棱、的中点，求直线与平面所成角的正弦；

正确答案

（1）证明:

（2）

如图,建立坐标系,则

易知是平面PAE的法向量, 设MN与平面PAE 所成的角为

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知识点

平面与平面垂直的判定与性质线面角和二面角的求法

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