函数的图象
共75题

函数的图象
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20. 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（I）若在线段上，是的中点，证明；

（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

正确答案

（Ⅰ）

由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则

所以.

；（Ⅱ）．

解析

由题设.设，则，且

记过两点的直线为，则的方程为. .....3分

（Ⅰ）由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则

所以. ......5分

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为. ....12分

考查方向

1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法．

解题思路

设出与X轴垂直的直线，得出点的坐标，通过证明直线斜率即可证明结果

易错点

注意应用坐标法证明时利用斜率关系，求轨迹时不可忽视分类讨论。

知识点

函数图象的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

8.已知函数,.若图象上存在两个不同的点与图象上两点关于轴对称，则的取值范围为（）

正确答案

解析

设，由题意可知，设在上必有两个负根，，设上不可能有两个负A根，可排除A,B, 上为增函数，(-1,0)上为减函数，F(-1)是极大值，F(-1)=-1<0, 不可能有两个负根排除答案C，所以选择D.

考查方向

考察函数图像的对称性，构造函数及用导数解决函数和零点问题

解题思路

先设点，后转化方程，得到一个方程有两个负根的问题，然后再构造一个新函数，运用导数来判断函数的有关零点问题

易错点

不能正确理解题目中的对称问题，进而在问题转化过程中进行不下去，对不同情况进行分类讨论不全

知识点

函数性质的综合应用函数图象的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

12. 形如的函数因其图像类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数有最小值，则当的值分别为方程

中的时的“囧函数”与函数的图像交点个数为（）．

正确答案

解析

令，则是与复合函数，

，当是增函数，时有最小值，

所以；，

所以，这时“囧函数”为它与函数与函数

在同一坐标系内的图象如图所示，图像交点个数为4 ，选C

考查方向

本题主要考查复合函数的单调性、圆的方程等知识，意在考查考生处理信息的能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先根据有最小值求出；

2.根据“囧函数”的概念求出

3.在同一个坐标系下做出与函数与函数的图象即可得到答案。

易错点

1.不理解题中给出的“囧函数”的概念；

2.不会处理复合函数函数导致a的范围求不出来。

知识点

函数性质的综合应用函数图象的应用

题型：填空题

填空题 · 6 分

14.若函数的图象关于直线对称，则 ▲ ，

▲ ，的最小值为 ▲ ．

正确答案

4，0，-16

解析

f(x-1)是偶函数，所以有f(x-1)= f(-x-1)；所以有; 将两边分别化简，利用恒成立的条件，求得a=4,b=0;所以f(x)=, f(x)的最小值与f(x-1)的最小值相同，f(x-1)==(,当=5时，有最小值-16.

考查方向

考察函数的对称性以导出的应用

解题思路

根据题意，图像关于直线x=-1对称，所以将函数f(x)的图像向右平移一个单位，得到偶函数图像，再利用偶函数的性质，求出a与b，然后利用导数求函数的最小值

易错点

在对称性应用上易出错

知识点

函数性质的综合应用函数图象的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

10.如图所示，函数离轴最近的零点与最大值均在抛物线上，则＝（）

正确答案

解析

设两个交点为A、B，由抛物线图象可知，令y=0,解得交点A(-) ，正弦形函数的最高点对应点B,令y=1,由抛物线可得x=B(,1)，，T=4, ，则f(x)=sin(x+)，代入B(,1)，= ，所以选C.

考查方向

考察三角函数，二次函数的图像及性质.

解题思路

先根据两个图像的特殊性，求出两个交点的坐标，AB两点的水平距离恰为1/4周期，应用周期公式求出，然后带入B点坐标, 求出值。最后确定函数的解析式。

易错点

不能正确的提炼图像中渗透的信息，没有掌握抛物线，二次函数图特殊性.

知识点

函数图象的应用三角函数中的恒等变换应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.已知函数，，则方程实根的个数为__________。

正确答案

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数图象的应用函数零点的判断和求解

棒棒哒，已学完当前知识点学习下一知识点

下一知识点 : 函数与方程

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