- 等差数列的判断与证明
- 共95题
已知数列{an}满足,,p为常数),,,成等差数列。
(1)求p的值及数列{an}的通项公式;
(2)设数列{bn}满足,证明:。
正确答案
见解析
解析
(1)因为,,
所以;。
因为,,成等差数列,
所以2()=+, 即,
所以 。
依题意,,
所以当n≥2时,,
,
……
,
。
相加得,
所以 ,
所以 。
当n=1时,成立,
所以 ,……………………8分
(2)证明:因为 ,
所以 。
因为 ,。
若 ,则,即 时 。
又因为 ,,
所以。 ……………………13分
知识点
正数列的前项和满足:,常数
(1)求证:是一个定值;
(2)若数列是一个周期数列,求该数列的周期;
(3)若数列是一个有理数等差数列,求。
正确答案
见解析
解析
(1)
:
……………4分
(2)计算 ……………6分
根据数列是隔项成等差,写出数列的前几项:,,,,,
当时,奇数项和偶数项都是单调递增的,所以不可能是周期数列 ……………8分
所以时,数列写出数列的前几项:,,,,
所以当且时,该数列的周期是2,……………9分
当时,该数列的周期是1, ……………10分
(3)因为数列是一个有理等差数列,所以
化简,
是有理数 ……………12分
设,是一个完全平方数,设为,均是非负整数
时, ……………14分
时=可以分解成8组,其中
只有符合要求, ……………16分
此时 ……………18分
或者, ……………12分
等差数列的前几项:,,, ……………14分
因为数列是一个有理等差数列
是一个自然数, ……………16分
此时 ……………18分
如果没有理由,猜想:,解答 得2分
得2分
知识点
已知数列的前项和为,且,则
正确答案
解析
略
知识点
已知为等差数列,为其前项和.若,则()
正确答案
解析
略
知识点
对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式:
根据上述分解规律,则, 若的分解中最小的数是73,则的值为 .
正确答案
9
解析
略
知识点
如下列所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端点)有个点,每个图形总的点数记为,则 。
正确答案
-1
解析
略
知识点
对于任意的,若数列同时满足下列两个条件,则称数列具有“性质”:①; ②存在实数,使得成立。
(1)数列、中,、(),判断、是否具有“性质”;
(2)若各项为正数的等比数列的前项和为,且,,证明:数列具有“性质”,并指出的取值范围;
(3)若数列的通项公式().对于任意的(),数列具有“性质”,且对满足条件的的最小值,求整数的值。
正确答案
见解析
解析
解析:(1)在数列中,取,则,不满足条件①,所以数列不具有“性质”;……2分
在数列中,,,,,,则,,,所以满足条件①;()满足条件②,所以数列具有“性质”。……4分
(2)因为数列是各项为正数的等比数列,则公比,
将代入得,,[来源:Z,xx,k.Com]
解得或(舍去),……6分
所以,,……7分
对于任意的,,且……8分[来源:学|科|网]
所以数列数列具有“性质”……9分
.……10分
(3)由于,则,
由于任意且,数列具有“性质”,所以
即,化简得,……12分[来源:学科网ZXXK]
即对于任意且恒成立,所以……①……14分
=由于及①,所以
即时,数列是单调递增数列,且……16分
只需,解得……②……17分
由① ②得,所以满足条件的整数的值为2和3.
经检验不合题意,舍去,满足条件的整数只有……18分
知识点
在数列中,如果对任意的,都有(为常数),则称数列为比等差数列,称为比公差,现给出以下命题:
①若数列满足,则该数列不是比等差数列;
②若数列满足,则数列是比等差数列,且比公差;
③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列;
④若是等差数列,是等比数列,则数列是比等差数列。
其中所有真命题的序号是() .
正确答案
①②
解析
略
知识点
已知数列{an}满足:,且。。
(1)求证:数列为等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)求下表中前n行所有数的和Sn。
正确答案
见解析。
解析
知识点
记数列的前项和为,已知向量()和()满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求;
(3)设,求数列的前项的和为。
正确答案
见解析
解析
(1)∵
∴=
=
=
∴;
(2)数列为周期为3的周期数列且
(3)
当时,
∵
∴
当时,
当时,
故
知识点
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